如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F-优题课

如图，在 $▱ ABCD$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $BD$ 上的两点（点 $E$ 在点 $F$ 左侧），且 $∠ AEB = ∠ CFD = 90 °$ ．

（1）求证：四边形 $AECF$ 是平行四边形；

（2）当 $AB = 5$ ， $\tan ∠ ABE = \frac{3}{4}$ ， $∠ CBE = ∠ EAF$ 时，求 $BD$ 的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：平行四边形的判定与性质解直角三角形全等三角形的判定与性质

为了解学生的课外阅读情况，某市教育局在某校学生中随机抽取了100名学生进行调研，获得了他们一周的课外阅读时间的相关数据，通过整理得到如下的频数分布直方图．

（1）已知阅读时间在 $8 ⩽ x < 10$ 之间的学生的频率为0.4，求 $a$ 、 $b$ 的值．

（2）在样本数据中，从阅读时间在 $0 ⩽ x < 2$ 之间与在 $4 ⩽ x < 6$ 之间的两个时间段内的学生中随机选取2名学生，请用列举法求出任选的2人中恰有1人一周阅读时间在 $0 ⩽ x < 2$ 之间的概率．

（3）该校规定一周课外阅读时间在10小时及以上的学生，可申请“博闻阅读”项目的资助，如果该校共有学生3000名，用样本估计该校可申请“博闻阅读”项目资助的学生人数．

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是 $AB$ 、 $BC$ 的中点， $CE ⊥ AB$ ，垂足为 $E$ ， $AF ⊥ BC$ ，垂足为 $F$ ， $AF$ 与 $CE$ 相交于点 $G$ ．

（1）证明： $ΔCFG ≅ ΔAEG$ ．

（2）若 $AB = 4$ ，求四边形 $AGCD$ 的对角线 $GD$ 的长．

如图1，点 $A$ 坐标为 $(2, 0)$ ，以 $OA$ 为边在第一象限内作等边 $ΔOAB$ ，点 $C$ 为 $x$ 轴上一动点，且在点 $A$ 右侧，连接 $BC$ ，以 $BC$ 为边在第一象限内作等边 $ΔBCD$ ，连接 $AD$ 交 $BC$ 于 $E$ ．

（1）①直接回答： $ΔOBC$ 与 $ΔABD$ 全等吗？

②试说明：无论点 $C$ 如何移动， $AD$ 始终与 $OB$ 平行；

（2）当点 $C$ 运动到使 $A C^{2} = AE \cdot AD$ 时，如图2，经过 $O$ 、 $B$ 、 $C$ 三点的抛物线为 $y_{1}$ ．试问： $y_{1}$ 上是否存在动点 $P$ ，使 $ΔBEP$ 为直角三角形且 $BE$ 为直角边？若存在，求出点 $P$ 坐标；若不存在，说明理由；

（3）在（2）的条件下，将 $y_{1}$ 沿 $x$ 轴翻折得 $y_{2}$ ，设 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 组成的图形为 $M$ ，函数 $y = \sqrt{3} x + \sqrt{3} m$ 的图象 $l$ 与 $M$ 有公共点．试写出： $l$ 与 $M$ 的公共点为3个时， $m$ 的取值．

探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点 $P_{1} (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $P_{2} (x_{2}$ ， $y_{2})$ ，可通过构造直角三角形利用图1得到结论： $P_{1} P_{2} = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$ 他还利用图2证明了线段 $P_{1} P_{2}$ 的中点 $P (x, y) P$ 的坐标公式： $x = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ ， $y = \frac{y_{1} + y_{2}}{2}$ ．

（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；

运用：（2）①已知点 $M (2, - 1)$ ， $N (- 3, 5)$ ，则线段 $MN$ 长度为　　；

②直接写出以点 $A (2, 2)$ ， $B (- 2, 0)$ ， $C (3, - 1)$ ， $D$ 为顶点的平行四边形顶点 $D$ 的坐标：　　；

拓展：（3）如图3，点 $P (2, n)$ 在函数 $y = \frac{4}{3} x (x ⩾ 0)$ 的图象 $OL$ 与 $x$ 轴正半轴夹角的平分线上，请在 $OL$ 、 $x$ 轴上分别找出点 $E$ 、 $F$ ，使 $ΔPEF$ 的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．

如图， $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $CD$ 平分 $∠ ACB$ 交 $⊙ O$ 于 $D$ ，过点 $D$ 作 $PQ / / AB$ 分别交 $CA$ 、 $CB$ 延长线于 $P$ 、 $Q$ ，连接 $BD$ ．

（1）求证： $PQ$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求证： $B D^{2} = AC \cdot BQ$ ；

（3）若 $AC$ 、 $BQ$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x + \frac{4}{x} = m$ 的两实根，且 $\tan ∠ PCD = \frac{1}{3}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．