已知 $\left\{a_n\right\}$是无穷数列．给出两个性质：

①对于 $\left\{a_n\right\}$中任意两项 $a_i,a_j(i>j)$，在 $\left\{a_n\right\}$中都存在一项 $a_m$，使 $\frac{a_i^2}{a_j}=a_m$；

②对于 $\left\{a_n\right\}$中任意项 $a_n(n⩾3)$，在 $\left\{a_n\right\}$中都存在两项 $a_k,a_l(k>l)$．使得 $a_n=\frac{a_k^2}{a_l}$．

(Ⅰ)若 $a_n=n(n=1,2,\cdots )$，判断数列 $\left\{a_n\right\}$是否满足性质①，说明理由；

(Ⅱ)若 $a_n=2^{n-1}(n=1,2,\cdots )$，判断数列 $\left\{a_n\right\}$是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

(Ⅲ)若 $\left\{a_n\right\}$是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： $\left\{a_n\right\}$为等比数列.

科目 数学   题型 解答题   难度 较难