在ΔABC中，∠C90°，AC<BC，D是AB的中点．E为直-优题课

在 $ΔABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AC > BC$ ， $D$ 是 $AB$ 的中点． $E$ 为直线 $AC$ 上一动点，连接 $DE$ ，过点 $D$ 作 $DF ⊥ DE$ ，交直线 $BC$ 于点 $F$ ，连接 $EF$ ．

（ 1 ）如图 1 ，当 $E$ 是线段 $AC$ 的中点时，设 $AE = a$ ， $BF = b$ ，求 $EF$ 的长（用含 $a, b$ 的式子表示）；

（ 2 ）当点 $E$ 在线段 $CA$ 的延长线上时，依题意补全图 2 ，用等式表示线段 $AE$ ， $EF$ ， $BF$ 之间的数量关系，并证明．

科目数学题型解答题难度中等

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $BC$ 于点 $D$ ， $DE ⊥ AC$ 交 $BA$ 的延长线于点 $E$ ，交 $AC$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $DE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AC = 6$ ， $\tan E = \frac{3}{4}$ ，求 $AF$ 的长．

如图，已知直线 $y = kx + b (k \neq 0)$ 与双曲线 $y = \frac{6}{x}$ 相交于 $A (m, 3)$ 、 $B (3, n)$ 两点．

（1）求直线 $AB$ 的解析式；

（2）连结 $AO$ 并延长交双曲线于点 $C$ ，连结 $BC$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ，连结 $AD$ ，求 $ΔABD$ 的面积．

我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．

（1）求甲、乙两种奖品的单价；

（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的 $\frac{1}{2}$ ，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．

目前，全国各地正在有序推进新冠疫苗接种工作．某单位为了解职工对疫苗接种的关注度，随机抽取了部分职工进行问卷调查，调查结果分为： $A$ （实时关注）、 $B$ （关注较多）、 $C$ （关注较少）、 $D$ （不关注）四类，现将调查结果绘制成如图所示的统计图．

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）求 $C$ 类职工所对应扇形的圆心角度数，并补全条形统计图；

（2）若 $D$ 类职工中有3名女士和2名男士，现从中任意抽取2人进行随访，请用树状图或列表法求出恰好抽到一名女士和一名男士的概率．

先化简，再求值： $(\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x - 1}) \div \frac{x^{2}}{x - 1}$ ，其中 $x - 3 = 0$ ．