已知 $\angle MON＝\alpha$，点A，B分别在射线OM，ON上运动，AB＝6．

（1）如图①，若 $\alpha ＝90°$，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为A′，B′，D′，连接OD，OD′．判断OD与OD′有什么数量关系？证明你的结论；

（2）如图②，若 $\alpha ＝60°$，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离；

（3）如图③，若 $\alpha ＝45°$，当点A，B运动到什么位置时，△AOB的面积最大？请说明理由，并求出△AOB面积的最大值．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等