已知在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中,点 $A$是反比例函数 $y=\frac{1}{x}(x>0)$图象上的一个动点,连接 $\mathit{AO},\mathit{AO}$的延长线交反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x<0)$的图象于点 $B$,过点 $A$作 $\mathit{AE}\perp y$轴于点 $E$.

（1）如图①,过点 $B$作 $\mathit{BF}\perp x$轴于点 $F$,连接 $\mathit{EF}$.

①若 $k=1$,求证:四边形 $\mathit{AEFO}$是平行四边形;

②连接 $\mathit{BE}$,若 $k=4$,求 $△\mathit{BOE}$的面积.

（2）如图②,过点 $E$作 $\mathit{EP}//\mathit{AB}$,交反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x<0)$的图象于点 $P$,连接 $\mathit{OP}$.试探究:对于确定的实数 $k$,动点 $A$在运动过程中, $△\mathit{POE}$的面积是否会发生变化?请说明理由.

科目 数学   题型 解答题   难度 中等