如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y14x232x4与两-优题课

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x + 4$ 与两坐标轴分别相交于 $A, B, C$ 三点.

（1）求证: $∠ ACB = 90^{\circ}$ ；

（2）点 $D$ 是第一象限内该抛物线上的动点，过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线交 $BC$ 于点 $E$ ，交 $x$ 轴于点 $F$ .

①求 $DE + BF$ 的最大值；

②点 $G$ 是 $AC$ 的中点，若以点 $C, D, E$ 为顶点的三角形与 $△ AOG$ 相似，求点 $D$ 的坐标.

科目数学题型解答题难度中等

如图，直线 $y = - \frac{2}{3} x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y = - \frac{4}{3} x^{2} + bx + c$ 经过点 $A$ ， $B$ ．

（1）求点 $B$ 的坐标和抛物线的解析式；

（2） $M (m, 0)$ 为 $x$ 轴上一动点，过点 $M$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与直线 $AB$ 及抛物线分别交于点 $P$ ， $N$ ．

①点 $M$ 在线段 $OA$ 上运动，若以 $B$ ， $P$ ， $N$ 为顶点的三角形与 $ΔAPM$ 相似，求点 $M$ 的坐标；

②点 $M$ 在 $x$ 轴上自由运动，若三个点 $M$ ， $P$ ， $N$ 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称 $M$ ， $P$ ， $N$ 三点为“共谐点”．请直接写出使得 $M$ ， $P$ ， $N$ 三点成为“共谐点”的 $m$ 的值．

如图1，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $AB = AC$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $AB$ ， $AC$ 上， $AD = AE$ ，连接 $DC$ ，点 $M$ ， $P$ ， $N$ 分别为 $DE$ ， $DC$ ， $BC$ 的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段 $PM$ 与 $PN$ 的数量关系是　　，位置关系是　　；

（2）探究证明：把 $ΔADE$ 绕点 $A$ 逆时针方向旋转到图2的位置，连接 $MN$ ， $BD$ ， $CE$ ，判断 $ΔPMN$ 的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸：把 $ΔADE$ 绕点 $A$ 在平面内自由旋转，若 $AD = 4$ ， $AB = 10$ ，请直接写出 $ΔPMN$ 面积的最大值．

学校“百变魔方”社团准备购买 $A$ ， $B$ 两种魔方，已知购买2个 $A$ 种魔方和6个 $B$ 种魔方共需130元，购买3个 $A$ 种魔方和4个 $B$ 种魔方所需款数相同．

（1）求这两种魔方的单价；

（2）结合社员们的需求，社团决定购买 $A$ ， $B$ 两种魔方共100个（其中 $A$ 种魔方不超过50个）．某商店有两种优惠活动，如图所示．请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠．

如图，一次函数 $y = - x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A (m, 3)$ 和 $B (3, 1)$ ．

（1）填空：一次函数的解析式为　　，反比例函数的解析式为　　；

（2）点 $P$ 是线段 $AB$ 上一点，过点 $P$ 作 $PD ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，连接 $OP$ ，若 $ΔPOD$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的取值范围．

如图所示，我国两艘海监船 $A$ ， $B$ 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船 $C$ ，此时， $B$ 船在 $A$ 船的正南方向5海里处， $A$ 船测得渔船 $C$ 在其南偏东 $45 °$ 方向， $B$ 船测得渔船 $C$ 在其南偏东 $53 °$ 方向，已知 $A$ 船的航速为30海里 $/$ 小时， $B$ 船的航速为25海里 $/$ 小时，问 $C$ 船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据： $\sin 53 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $\cos 53 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\tan 53 ° \approx \frac{4}{3}$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41)$