已知a，b为有理数，m，n分别表示57的整数部分和小数部分，-优题课

已知 $a ， b$ 为有理数， $m ， n$ 分别表示 $5 - \sqrt{7}$ 的整数部分和小数部分，且 $amn + b n^{2} =$ 1，则 $2 a + b =$ ＿＿＿＿＿．

科目数学题型填空题难度中等

如图，在 $4 \times 4$ 的正方形网格图中，已知点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $O$ 均在格点上，其中 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 又在 $⊙ O$ 上，点 $E$ 是线段 $CD$ 与 $⊙ O$ 的交点．则 $∠ BAE$ 的正切值为　　．

如图，实数 $- \sqrt{5}$ ， $\sqrt{15}$ ， $m$ 在数轴上所对应的点分别为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，点 $B$ 关于原点 $O$ 的对称点为 $D$ ．若 $m$ 为整数，则 $m$ 的值为　　．

中国杂交水稻之父、中国工程院院士、共和国勋章获得者袁隆平于2021年5月22日因病去世，享年91岁，袁隆平的去世是中国乃至全世界的重大损失．袁隆平一生致力于水稻杂交技术研究，为提高我国水稻亩产量做出了巨大贡献．截至2021年，“种三产四”丰产工程项目累计示范推广面积达2000多万亩，增产20多亿公斤．将20亿这个数据用科学记数法表示为　　．

实数 $\sqrt{16}$ 的算术平方根是　　．

如图，在平面直角坐标系中， $AB ⊥ y$ 轴，垂足为 B，将△ ABO绕点 A逆时针旋转到△ AB ₁ O ₁的位置，使点 B的对应点 B ₁落在直线 $y = - \frac{3}{4}$ x上，再将△ AB ₁ O ₁绕点 B ₁逆时针旋转到△ A ₁ B ₁ O ₂的位置，使点 O ₁的对应点 O ₂也落在直线 $y = - \frac{3}{4}$ x上，以此进行下去…若点 B的坐标为（0，3），则点 B ₂₁的纵坐标为　　．

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