恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷 $\left(A\right)$和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路 $X$同侧， $\mathit{AB}=50\text{km},A,B$到直线 $X$的距离分别为 $10\text{km}$和 $40\text{km}$，要在沪渝高速公路旁修建一服务区 $P$，向 $A,B$两景区运送游客.小民设计了两种方案.图①是方案一的示意图（ $\mathit{AP}$与直线 $X$垂直，垂足为 $P),P$到 $A,B$的距离之和 $S_1=\mathit{PA}+\mathit{PB}$；图②是方案二的示意图（点 $A$关于直线 $X$的对称点是 $A^{\text{'}}$，连接 $B{A}^{\text{'}}$交直线 $X$于点 $\left.P\right),P$到 $A,B$的距离之和 $S_2=\mathit{PA}+\mathit{PB}$.

（1）求 $S_1,S_2$，并比较它们的大小；

（2）请你说明 $S_2=\mathit{PA}+\mathit{PB}$的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路 $y$与沪渝高速公路垂直，建立如图③所示的直角坐标系， $B$到直线 $y$的距离为 $30\text{km}$，请你在 $x$旁和 $y$旁各修建一服务区 $P,Q$，使 $P,A,B,Q$组成的四边形的周长最小，并求出这个最小值.

科目 数学   题型 解答题   难度 较难