秋千由踏板和绳构成，人在秋千上的摆动过程可以简化为单摆的摆动，等效“摆球”的质量为 $m$，人蹲在踏板上时摆长为 $l_{\text{1}}$，人站立时摆长为 $l_2$。不计空气阻力，重力加速度大小为 $g$。

（1）如果摆长为 $l_{\text{1}}$，“摆球”通过最低点时的速度为 $v$，求此时“摆球”受到拉力 $T$的大小。

（2）在没有别人帮助的情况下，人可以通过在低处站起、在高处蹲下的方式使“摆球”摆得越来越高。

a.人蹲在踏板上从最大摆角 ${\theta }_1$开始运动，到最低点时突然站起，此后保持站立姿势摆到另一边的最大摆角为 ${\theta }_2$。假定人在最低点站起前后“摆球”摆动速度大小不变，通过计算证明 ${\theta }_2>{\theta }_1$。

b.实际上人在最低点快速站起后“摆球”摆动速度的大小会增大。随着摆动越来越高，达到某个最大摆角 $\theta$后，如果再次经过最低点时，通过一次站起并保持站立姿势就能实现在竖直平面内做完整的圆周运动，求在最低点“摆球”增加的动能 $\Delta E_{\text{k}}$应满足的条件。

科目 物理   题型 计算题   难度 中等