如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF-优题课

抛物线 $y = - \frac{\sqrt{6}}{6} x^{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} x + \sqrt{6}$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左边），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 是该抛物线的顶点．

（1）如图1，连接 $CD$ ，求线段 $CD$ 的长；

（2）如图2，点 $P$ 是直线 $AC$ 上方抛物线上一点， $PF ⊥ x$ 轴于点 $F$ ， $PF$ 与线段 $AC$ 交于点 $E$ ；将线段 $OB$ 沿 $x$ 轴左右平移，线段 $OB$ 的对应线段是 $O_{1} B_{1}$ ，当 $PE + \frac{1}{2} EC$ 的值最大时，求四边形 $P O_{1} B_{1} C$ 周长的最小值，并求出对应的点 $O_{1}$ 的坐标；

（3）如图3，点 $H$ 是线段 $AB$ 的中点，连接 $CH$ ，将 $ΔOBC$ 沿直线 $CH$ 翻折至△ $O_{2} B_{2} C$ 的位置，再将△ $O_{2} B_{2} C$ 绕点 $B_{2}$ 旋转一周，在旋转过程中，点 $O_{2}$ ， $C$ 的对应点分别是点 $O_{3}$ ， $C_{1}$ ，直线 $O_{3} C_{1}$ 分别与直线 $AC$ ， $x$ 轴交于点 $M$ ， $N$ ．那么，在△ $O_{2} B_{2} C$ 的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使 $ΔAMN$ 是以 $MN$ 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段 $O_{2} M$ 的长；若不存在，请说明理由．

对任意一个四位数 $n$ ，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称 $n$ 为“极数”．

（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；

（2）如果一个正整数 $a$ 是另一个正整数 $b$ 的平方，则称正整数 $a$ 是完全平方数．若四位数 $m$ 为“极数”，记 $D (m) = \frac{m}{33}$ ，求满足 $D (m)$ 是完全平方数的所有 $m$ ．

如图，在 $▱ ABCD$ 中， $∠ ACB = 45 °$ ，点 $E$ 在对角线 $AC$ 上， $BE = BA$ ， $BF ⊥ AC$ 于点 $F$ ， $BF$ 的延长线交 $AD$ 于点 $G$ ．点 $H$ 在 $BC$ 的延长线上，且 $CH = AG$ ，连接 $EH$ ．

（1）若 $BC = 12 \sqrt{2}$ ， $AB = 13$ ，求 $AF$ 的长；

（2）求证： $EB = EH$ ．

在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍．

（1）按计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？

（2）到2018年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为 $1 : 2$ ．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入 $10 a %$ ，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加 $a %$ ， $5 a %$ ，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加 $5 a %$ ， $8 a %$ ，求 $a$ 的值．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $l_{1} : y = \frac{1}{2} x$ 与直线 $l_{2}$ 交点 $A$ 的横坐标为2，将直线 $l_{1}$ 沿 $y$ 轴向下平移4个单位长度，得到直线 $l_{3}$ ，直线 $l_{3}$ 与 $y$ 轴交于点 $B$ ，与直线 $l_{2}$ 交于点 $C$ ，点 $C$ 的纵坐标为 $- 2$ ．直线 $l_{2}$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ．

（1）求直线 $l_{2}$ 的解析式；

（2）求 $ΔBDC$ 的面积．