如图，将等腰直角三角形纸片ABC对折，折痕为CD．展平后，再-优题课

如图，将等腰直角三角形纸片 $ABC$ 对折，折痕为 $CD$ ．展平后，再将点 $B$ 折叠在边 $AC$ 上（不与 $A$ 、 $C$ 重合），折痕为 $EF$ ，点 $B$ 在 $AC$ 上的对应点为 $M$ ，设 $CD$ 与 $EM$ 交于点 $P$ ，连接 $PF$ ．已知 $BC = 4$ ．

（1）若 $M$ 为 $AC$ 的中点，求 $CF$ 的长；

（2）随着点 $M$ 在边 $AC$ 上取不同的位置，

① $ΔPFM$ 的形状是否发生变化？请说明理由；

②求 $ΔPFM$ 的周长的取值范围．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：相似三角形的判定与性质翻折变换（折叠问题）勾股定理等腰直角三角形

（1）求方程 $2 x - 5 y = 4$ 的全部整数解．

（2）求方程 $7 x + 19 y = 213$ 的所有正整数解．

《中学生体质健康标准》规定学生体质健康等级标准为： $86$ 分及以上为优秀； $76$ 分~ $85$ 分为良好； $60$ 分~ $75$ 分为及格； $59$ 分以下为不及格.某校抽取八年级学生人数的 $10 %$ 进行体质测试，测试结果如图.

（1）在抽取的学生中不及格人数所占的百分比是＿＿＿＿＿；

（2）小明按以下方法计算所抽取学生测试结果的平均分是 $(90 + 82 + 65 + 40) \div 4 = 69.25$ .根据所学的统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并计算出结果；

（3）若抽取的学生中不及格学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数，请估算该校八年级学生中优秀等级的人数.

新安商夏对销量较大的 $A, B, C$ 三种品牌的洗衣粉进行了问卷调查，发放问卷 $270$ 份（问卷由单选和多选题组成）.对收回的 $238$ 份问卷进行了整理，部分数据如下：

最近一次购买各品牌洗衣粉用户的比例

用户对各品牌洗衣粉满意情况汇总表

根据上述信息回答下列问题：

（1） $A$ 品牌洗衣粉的主要竞争优势是什么?你是怎样看出来的?

（2）广告对用户选择品牌有影响吗?请简要说明理由.

（3）你对厂家有何建议?

如图某文具店王经理统计了2019年1月至5月 $A, B, C$ 这三种型号的钢笔平均每月的销售量，并绘制图1（不完整）.销售这三种型号钢笔平均每月获得的总利润为 $600$ 元，每种型号钢笔获得的利润分布情况如图2，已知 $A, B, C$ 这三种型号钢笔每支的利润分别是 $0.5$ 元， $0.6$ 元， $1.2$ 元，请你结合图中的信息，解答下列问题：

（1）求出 $C$ 种型号钢笔平均每月的销售量，并将图1补充完整；

（2）王经理计划6月份购进 $A, B, C$ 这三种型号的笔共 $900$ 支，请你结合1月至5月平均每月的销售情况（不考虑其它因素），设计一个方案，使获得的利润最大，并说明理由.

下表是某实验中学七（1）班 $40$ 位同学在“献爱心”活动中捐的图书情况记录：

（1）现需要将该班同学捐图书的情况报告给少先队大队部，请你给出一种表示这些数据的方案，使大队部一目了然地知道整个情况；

（2）从（1）的方案中，请你至少写出三条获得的信息；