已知全集，集合（1）求集合（2）求集合，-优题课

如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。

（Ⅰ）若 $CD = 2$ ， $平面 ABCD ⊥ 平面 DCEF$ ，求直线MN的长；

（Ⅱ）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线。

如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为 $7 5^{0}$ ， $3 0^{0}$ ，于水面C处测得B点和D点的仰角均为 $6 0^{0}$ ，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km， $\sqrt{2} \approx$ 1.414， $\sqrt{6} \approx$ 2.449）

等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n 项和为 $s_{n}$ ，已知 $S_{1}$ , $S_{3}$ , $S_{2}$ 成等差数列

（1）求 $\{a_{n}\}$ 的公比 $q$ ；

（2）求 $a_{1} - a_{3} = 3$ 求 $s_{n}$

（1）已知矩阵 $M (\begin{matrix} 2 & - 3 \\ 1 & - 1 \end{matrix})$ 所对应的线性变换把点 $A (x, y)$ 变成点 $A^{'} (13, 5)$ ，试求M的逆矩阵及点A的坐标

（2）已知直线 $l : 3 x + 4 y - 12 = 0$ 与 $圆 C : \{\begin{matrix} x = - 1 + 2 \cos θ \\ y = 2 + 2 \sin θ \end{matrix} (θ 为参数)$ 试判断他们的公共点个数

（3）解不等式 $|2 x - 1| < |x| + 1$ .

已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} + bx$ ,且 $f' (- 1) = 0$

(1) 试用含 $a$ 的代数式表示b,并求 $f (x)$ 的单调区间；

（2）令 $a = - 1$ ,设函数 $f (x)$ 在 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 处取得极值，记点 $M (x_{1}, f (x_{1}))$ ， $N (x_{2}, f (x_{2}))$ ， $P (m, f (m))$ , $x_{1} < m < x_{2}$ ,请仔细观察曲线 $f (x)$ 在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：

（Ⅰ）若对任意的 $m \in (x_{1}, x_{2})$ ，线段MP与曲线 $f (x)$ 均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；

（Ⅱ）若存在点 $Q (n, f (n))$ , $x \leq n < m$ ,使得线段 $PQ$ 与曲线 $f (x)$ 有异于 $P$ 、 $Q$ 的公共点，请直接写出 $m$ 的取值范围（不必给出求解过程）