某厂家拟在2011年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件。已知2008年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）将2011年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2011年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其它因素，在t秒内，它们引发的水面波动可分别由函数和描述。如果两个振动源同时启动，则水面波动由两个函数的和表达。在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么，原本平静的水面将呈现怎样的状态，请说明理由
设，试求下述方程有解时k的取值范围。
设函数 f ( x ) = a x + 1 x + b a , b ∈ Z ，曲线 y = f ( x ) 在点 ( 2 , f ( 2 ) ) 处的切线方程为 y = 3 . （Ⅰ）求 f ( x ) 的解析式： （Ⅱ）证明：函数 y = f ( x ) 的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； （Ⅲ）证明：曲线 y = f ( x ) 上任一点的切线与直线 x = 1 和直线 y = x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值.
若不等式的解集为A，且，求a的取值范围。
若方程上有唯一解，求m的取值范围。
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）（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件。已知2008年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
和
描述。如果两个振动源同时启动，则水面波动由两个函数的和表达。在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么，原本平静的水面将呈现怎样的状态，请说明理由
，试求下述方程有解时k的取值范围。
的解集为A，且
，求a的取值范围。
上有唯一解，求m的取值范围。