若,则.-优题课

已知函数 $f (x) = |e^{x} - 1|, x_{1} < 0, x_{2} > 0$ ，函数 $f (x)$ 的图象在点 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ 和点 $B (x_{2}, f (x_{2}))$ 的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 $\frac{| AM |}{| BN |}$ 取值范围是_______．

已知向量 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ， $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = |\vec{c}| = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} =$ _______．

写出一个同时具有下列性质①②③的函数 $f (x) :$ _______．

① $f (x_{1} x_{2}) = f (x_{1}) f (x_{2})$ ；②当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $f^{'} (x) > 0$ ；③ $f^{'} (x)$ 是奇函数．

已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $e = 2$ ，则该双曲线的渐近线方程为_______、________

某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 $20 dm \times 12 dm$ 的长方形纸，对折1次共可以得到 $10 dm \times 12 dm$ ， $20 dm \times 6 dm$ 两种规格的图形，它们的面积之和 $S_{1} = 240 d m^{2}$ ，对折2次共可以得到 $5 dm \times 12 dm$ ， $10 dm \times 6 dm$ ， $20 dm \times 3 dm$ 三种规格的图形，它们的面积之和 $S_{2} = 180 d m^{2}$ ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折 $n$ 次，那么 $\sum_{k = 1}^{n} S_{k} =$ ______ $d m^{2}$ .