两块足够大的平行金属极板水平放置，极板间加有空间分布均匀、大-优题课

同步加速器在粒子物理研究中有重要的应用，其基本原理简化为如图所示的模型。 $M$ 、 $N$ 为两块中心开有小孔的平行金属板。质量为 $m$ 、电荷量为 $+ q$ 的粒子 $A$ （不计重力）从 $M$ 板小孔飘入板间，初速度可视为零，每当 $A$ 进入板间，两板的电势差变为 $U$ ，粒子得到加速，当 $A$ 离开 $N$ 板时，两板的电荷量均立即变为零。两板外部存在垂直纸面向里的匀强磁场， $A$ 在磁场作用下做半径为 $R$ 的圆周运动， $R$ 远大于板间距离， $A$ 经电场多次加速，动能不断增大，为使 $R$ 保持不变，磁场必须相应地变化。不计粒子加速时间及其做圆周运动产生的电磁辐射，不考虑磁场变化对粒子速度的影响及相对论效应。求

（1） $A$ 运动第1周时磁场的磁感应强度 $B_{1}$ 的大小；

（2）在 $A$ 运动第n周的时间内电场力做功的平均功率 $P_{n}$ ；

（3）若有一个质量也为 $m$ 、电荷量为 $+ k q$ （k为大于1的整数）的粒子 $B$ （不计重力）与A同时从 $M$ 板小孔飘入板间， $A$ 、B初速度均可视为零，不计两者间的相互作用，除此之外，其他条件均不变，下图中虚线、实线分别表示 $A$ 、 $B$ 的运动轨迹。在 $B$ 的轨迹半径远大于板间距离的前提下，请指出哪个图能定性地反映 $A$ 、 $B$ 的运动轨迹，并经推导说明理由。

冰球运动员甲的质量为80.0 $k g$ 。当他以5.0 $m / s$ 的速度向前运动时，与另一质量为100 $k g$ 、速度为3.0 $m / s$ 的迎面而来的运动员乙相撞。碰后甲恰好静止。假设碰撞时间极短，求：
（1）碰后乙的速度的大小；

（2）碰撞中总机械能的损失。

如图所示，将小砝码置于桌面上的薄纸板上，用水平向右的拉力将纸板迅速抽出，砝码的移动很小，几乎观察不到，这就是大家熟悉的惯性演示实验。若砝码和纸板的质量分别为 $m_{1}$ 和 $m_{2}$ ，各接触面间的动摩擦因数均为 $μ$ 。重力加速度为 $g$ 。

（1）当纸板相对砝码运动时，求纸板所受摩擦力大小；

（2）要使纸板相对砝码运动，求所需拉力的大小；

（3）本实验中， $m_{1} = 0.5 k g$ ， $m_{2} = 0.1 k g$ ， $μ = 0.2$ ，砝码与纸板左端的距离 $d = 0.1 m$ ，取 $g = 10 m / s^{2}$ 。若砝码移动的距离超过 $l = 0.002 m$ ，人眼就能感知，为确保实验成功，纸板所需的拉力至少多大?

如图所示，一定质量的理想气体从状态 $A$ 依次经过状态 $B$ 、 $C$ 和 $D$ 后再回到状态 $A$ 。其中， $A ® B$ 和 $C ® D$ 为等温过程， $B ® C$ 和 $D ® A$ 为绝热过程（气体与外界无热量交换）。这就是著名的"卡诺循环"。

（1）该循环过程中，下列说法正确的是.
A． $A ® B$ 过程中，外界对气体做功
B． $B ® C$ 过程中，气体分子的平均动能增大
C． $C ® D$ 过程中，单位时间内碰撞单位面积器壁的分子数增多
D． $D ® A$ 过程中，气体分子的速率分布曲线不发生变化
（2）该循环过程中，内能减小的过程是（选填" $A ® B$ "、" $B ® C$ "、" $C ® D$ "或" $D ® A$ "）. 若气体在 $A ® B$ 过程中吸收 $63 k J$ 的热量，在 $C ® D$ 过程中放出 $38 k J$ 的热量，则气体完成一次循环对外做的功为 $k J$ .

（3）若该循环过程中的气体为 $1 m o l$ ，气体在 $A$ 状态时的体积为 $10 L$ ，在 $B$ 状态时压强为 $A$ 状态时的 $\frac{2}{3}$ 。求气体在 $B$ 状态时单位体积内的分子数。（已知阿伏加德罗常数 $N_{A} = 6.0 \times 10^{23} m o l^{- 1}$ ，计算结果保留一位有效数字）

对于同一物理问题，常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究，找出其内在联系，从而更加深刻地理解其物理本质。
（1）一段横截面积为 $S$ 、长为 $l$ 的直导线，单位体积内有 $n$ 个自由电子，电子电荷量为 $e$ 。该导线通有电流时，假设自由电子定向移动的速率均为 $v$ 。
（a）求导线中的电流 $I$ ；

（b）将该导线放在匀强磁场中，电流方向垂直于磁感应强度 $B$ ，导线所受安培力大小为 $F_{安}$ ，导线内自由电子所受洛伦兹力大小的总和为 $F$ ，推导 $F_{安} = F$ 。

（2）正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为 $m$ ，单位体积内粒子数量 $n$ 为恒量。为简化问题，我们假定：粒子大小可以忽略；其速率均为 $v$ ，且与器壁各面碰撞的机会均等；与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂直，且速率不变。利用所学力学知识，导出器壁单位面积所受粒子压力 $F$ 与 $m$ 、 $n$ 和 $v$ 的关系。

（注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明）