(本小题满分12分)
已知点为双曲线
(
为正常数)上任一点,
为双曲线的右焦点,过
作右准线的垂线,垂足为
,连接
并延长交
轴于
.
(1) 求线段的中点
的轨迹
的方程;
(2) 设轨迹与
轴交于
两点,在
上任取一点
,直线
分别交
轴于
两点.求证:以
为直径的圆过两定点.
(本小题满分12分)已知函数,
为自然对数的底数.
(1)过点的切线斜率为
,求实数
的值;
(2)当时,求证:
;
(3)在区间上
恒成立,求实数
的取值范围.
(本小题满分12分)如图所示,椭圆:
,其中
,焦距为
,过点
的直线
与椭圆
交于点
、
,点
在
之间,又点
,
的中点横坐标为
,且
.
(1)求椭圆的标准方程 ; (2)求实数
的值.
(本小题满分12分)
某学校举行联欢会,所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖.甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张.每个节目投票时,甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为,且三人投票相互没有影响.若投票结果中至少有两张“获奖”票,则决定该节目最终获一等奖;否则,该节目不能获一等奖.
(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率;
(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和的分布列及数学期望.
(本小题满分12分)如图,四棱锥的底面是正方形,
平面
,
,点
是
上的点,且
.
(1)求证:对任意的,都有
;
(2)若二面角的大小为
,求实数
的值.
(本小题满分12分)已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间;
(2)当时,求函数
的值域.