(本小题满分13分)已知椭圆的左焦点为
.
(1)设椭圆与函数
的图像交于点
,若函数
在点
处的切线过椭圆的左焦点
,求椭圆的离心率;
(2)设过点且斜率不为零的直线
交椭圆于
两点,连结
(
为坐标原点)并延长,交椭圆于点
,若椭圆的长半轴长
是大于1的给定常数,求
的面积的最大值
.
(本小题满分12分)已知等差数列的公差为
,前
项和为
,且
.
(1)求数列的通项公式
与前
项和
;
(2)将数列的前四项抽取其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列
的前三项,记数列
的前
项和为
,若存在
,使得对任意
,总有
成立,求实数
的取值范围.
(本小题满分12分)在等腰中,
,
,
分别是边
、
的中点,将
沿
翻折,得到四棱锥
,且
为棱
中点,
.
(1)求证:平面
;
(2)在线段上是否存在一点
,使得
平面
?若存在,求二面角
的余弦值,若不存在,请说明理由.
(本小题满分12分)现有4名学生参加演讲比赛,有A、B两个题目可供选择.组委会决定让选手通过掷一枚质地均匀的骰子选择演讲的题目,规则如下:选手掷出能被3整除的数则选择A题目,掷出其他的数则选择B题目.
(1)求这4个人中恰好有1个人选择B题目的概率;
(2)用X、Y分别表示这4个人中选择A、B题目的人数,记,求随机变量
的分布列与数学期望
.
(本小题满分12分)已知函数,将
的图像向左平移
个单位后得到
的图像,且
在区间
内的最大值为
.
(1)求实数的值;
(2)在中,内角
、
、
的对边分别是
,若
,且
,求
的周长
的取值范围.