(本小题满分14分，第Ⅰ小题5分，第Ⅱ小题4分，第Ⅲ小题5分-优题课

(本小题满分14分，第Ⅰ小题5分，第Ⅱ小题4分，第Ⅲ小题5分).
数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设数列的前项和为，且，求证:对任意实数（是常数，＝2.71828）和任意正整数，总有 2；
(Ⅲ) 正数数列中，.求数列中的最大项.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式

设曲线 $2 x^{2} + 2 x y + y^{2} = 1$ 在矩阵 $A = (\begin{matrix} a & 0 \\ b & 1 \end{matrix}) (a > 0)$ 对应的变换作用下得到的曲线为 $x^{2} + y^{2} = 1$ .

（Ⅰ）求实数 $a, b$ 的值
（Ⅱ）求 $A^{2}$ 的逆矩阵

已知函数 $f (x) = e^{x} + a x^{2} - e x, a \in R$ .
（Ⅰ）若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线平行于 $x$ 轴，求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）试确定 $a$ 的取值范围，使得曲线 $y = f (x)$ 上存在唯一的点 $P$ ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点 $P$ .

如图，椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，右焦点为 $F_{2}$ ，离心率 $e = \frac{1}{2}$ 。过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $A, B$ 两点，且 $△ A B F_{2}$ 的周长为8

（Ⅰ）求椭圆 $E$ 的方程。
（Ⅱ）设动直线 $l$ ： $y = k x + m$ 与椭圆 $E$ 有且只有一个公共点 $P$ ，且与直线 $x = 4$ 相较于点 $Q$ 。试探究：在坐标平面内是否存在定点 $M$ ，使得以 $P Q$ 为直径的圆恒过点 $M$ ？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，说明理由

如图,在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中 $A A_{1} = A D = 1$ , $E$ 为 $C D$ 中点.

（Ⅰ）求证: $B_{1} E ⊥ A D_{1}$ ；
（Ⅱ）在棱 $A A_{1}$ 上是否存在一点 $P$ ,使得 $D P ∥$ 平面 $B_{1} A E$ ？若存在,求 $A P$ 的长；若不存在,说明理由.
（Ⅲ）若二面角 $A - B_{1} E A_{1}$ 的大小为 $30^{°}$ ,求 $A B$ 的长.

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。
（1） $\sin^{2} 13^{°} + \cos^{2} 17^{°} - \sin 13^{°} \cos 17^{°}$

（2） $\sin^{2} 15^{°} + \cos^{2} 15^{°} - \sin 15^{°} \cos 15^{°}$

（3） $\sin^{2} 18^{°} + \cos^{2} 12^{°} - \sin 18^{°} \cos 12^{°}$

（4） $\sin^{2} (- 18^{°}) + \cos^{2} 48^{°} - \sin^{2} (- 18^{°}) \cos^{2} 48^{°}$

（5） $\sin^{2} (- 25^{°}) + \cos^{2} 55 ° - \sin^{2} (- 25^{°}) \cos^{2} 55^{°}$

(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数.
(Ⅱ)根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论.

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