如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都相等，D、E分别-优题课

题文

如图，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的各棱长都相等，D、E分别是CC₁和AB₁的中点，点F在BC上且满足BF∶FC=1∶3
(1)若M为AB中点，求证 BB₁∥平面EFM；
(2)求证 EF⊥BC；
(3)求二面角A₁—B₁D—C₁的大小

科目数学题型解答题难度较易

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已知函数 $f (x)$ 对任意实数 $x$ 均有 $f (x) = k f (x + 2)$ ，其中常数 $k$ 为负数，且 $f (x)$ 在区间 $[0, 2]$ 上有表达式 $f (x) = x (x - 2)$ .
（1）求 $f (- 1)$ ， $f (2.5)$ 的值；
（2）写出 $f (x)$ 在 $[- 3, 3]$ 上的表达式，并讨论函数 $f (x)$ 在 $[- 3, 3]$ 上的单调性；
（3）求出 $f (x)$ 在 $[- 3, 3]$ 上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.

某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素 $C$ ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素 $C$ .另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素 $C$ .
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?

$\overset{⏜}{A E C}$ 是半径为 $a$ 的半圆， $A C$ 为直径，点 $E$ 为 $\overset{⏜}{A C}$ 的中点，点 $B$ 和点 $C$ 为线段 $A D$ 的三等分点，平面 $A E C$ 外一点 $F$ 满足 $F C ⊥$ 平面 $B E D$ ， $F B = \sqrt{5} a$ .

（1）证明： $E B ⊥ F D$ ；
（2）求点 $B$ 到平面 $F E D$ 的距离.

某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：

（1）由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关?
（2）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名?
（3）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．

设函数 $f (x) = 3 \sin (ω x + \frac{π}{6}), ω > 0, x \in (- \infty, + \infty)$ ，且以 $\frac{π}{2}$ 为最小正周期．
（1）求 $f (0)$ ；
（2）求 $f (x)$ 的解析式；
（3）已知 $f (\frac{α}{4} + \frac{π}{12}) = \frac{9}{5}$ ，求 $\sin α$ 的值．

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