如图，在锐角△ABC中，AB<AC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点。过P作PE⊥AC，垂足为E，做PF⊥AB，垂足为F。O1、O2分别是△BDF、△CDE的外心。求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心。
（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱
中，
，
是棱
上的动点，
是
中点，
，
．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）若二面角
的大小是
，求
的长．
（本小题满分12分）
按照新课程的要求, 高中学生在每学期都要至少参加一次社会实践活动（以下简称活动）．某校高一·一班50名学生在上学期参加活动的次数统计如条形图所示．
（Ⅰ）求该班学生参加活动的人均次数
；
（Ⅱ）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；
（Ⅲ）从该班中任选两名学生，用
表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望
．（要求：答案用最简分数表示）
（本小题满分12分）在
中，
分别为角
的对边，且满足
（Ⅰ）求角
的大小；
（Ⅱ）若
，求
的最小值．
曲线C上任一点到点
，
的距离的和为12，C与x轴的负半轴、正半轴依次交于A、B两点，点P在C上，且位于x轴上方，
．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）求点P的坐标；
（Ⅲ）以曲线C的中心为圆心，AB为直径作圆O，过点P的直线l截圆O的弦MN长为
，求直线l的方程．
若函数
，当
时，函数
有极值为
，
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若
有3个解，求实数
的取值范围。