集合，集合，求．-优题课

设 ${a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，满足 ${a_{2}}^{2} + {a_{3}}^{2} = {a_{4}}^{2} + {a_{5}}^{2}, S_{7} = 7$ .

（1）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

（2）试求所有的正整数 $m$ ，使得 $\frac{a_{m} a_{m + 1}}{a_{m + 2}}$ 为数列 ${a_{n}}$ 中的项.

如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E, F$ 分别是 $A_{1} B, A_{1} C$ 的中点，点 $D$ 在 $B_{1} C_{1}$ 上， $A_{1} D ⊥ B_{1} C$ .
求证：（1） $E F / /$ 平面 $A B C$ ；
（2）平面 $A_{1} F D ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ .

设向量 $\overset{⇀}{a} = (4 \cos α, \sin α), \overset{⇀}{b} = (\sin β, 4 \cos β), \overset{⇀}{c} (\cos β, - 4 \sin β)$
（1）若 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b} - 2 \overset{⇀}{c}$ 垂直，求 $\tan (α + β)$ 的值；

（2）求 $|\overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}|$ 的最大值;
（3）若 $\tan α t a n β = 16$ ，求证： $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{b}$ .

已知以原点 $O$ 为中心的双曲线的一条准线方程为 $x = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，离心率 $e = \sqrt{5}$ ．

（Ⅰ）求该双曲线的方程；
（Ⅱ）如图，点 $A$ 的坐标为 $(- \sqrt{5}, 0)$ ， $B$ 是圆 $x^{2^{}} + (y - \sqrt{5})^{2} = 1$ 上的点，点 $M$ 在双曲线右支上，求 $|M A| + |M B|$ 的最小值，并求此时 $M$ 点的坐标.

已知 $a_{1} = 1, a_{2} = 4, a_{n + 2} = 4 a_{n + 1} + a_{n}, b_{n} = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}, n \in N^{+}$ ．
（Ⅰ）求 $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ 的值；
（Ⅱ）设 $c_{n} = b_{n} b_{n + 1}, S_{n}$ 为数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，求证： $S_{n} \geq 17 n$ ；
（Ⅲ）求证： $|b_{2 n} - b_{n}| < \frac{1}{64} \cdot \frac{1}{17^{n - 2}}$ ．