已知，求证．-优题课

如图，在三棱柱 ABC− $A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥$ 平面 ABC， D， E， F， G分别为 $A A_{1}$ ， AC， $A_{1} C_{1}$ ，的中点， AB=BC= $\sqrt{5}$ ， AC= $A A_{1}$ =2．

（1）求证： AC⊥平面 BEF；

（2）求二面角 B−CD− C ₁的余弦值；

（3）证明：直线 FG与平面 BCD相交．

在△ABC中，a=7，b=8，cosB= - $\frac{1}{7}$ ．

(1)求∠A；

(2)求AC边上的高．

已知函数 $f (x) = a^{x}$ ， $g (x) = lo g_{a} x$ ，其中 a>1.

（I）求函数 $h (x) = f (x) - x ln a$ 的单调区间；

（II）若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 处的切线与曲线 $y = g (x)$ 在点 $(x_{2}, g (x_{2}))$ 处的切线平行，证明 $x_{1} + g (x_{2}) = - \frac{2 lnln a}{ln a}$ ；

（III）证明当 $a \geq e^{\frac{1}{e}}$ 时，存在直线 l，使 l是曲线 $y = f (x)$ 的切线，也是曲线 $y = g (x)$ 的切线.

设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，点A的坐标为 $(b, 0)$ ，且 $|FB| \cdot |AB| = 6 \sqrt{2}$ .

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l： $y = kx (k > 0)$ 与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若 $\frac{|AQ|}{|PQ|} = \frac{5 \sqrt{2}}{4} sin ∠ AOQ$ (O为原点) ，求k的值.

设 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，公比大于0，其前n项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ， $\{b_{n}\}$ 是等差数列.已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = a_{2} + 2$ ， $a_{4} = b_{3} + b_{5}$ ， $a_{5} = b_{4} + 2 b_{6}$ .

（I）求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

（II）设数列 $\{S_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n} (n \in N^{*})$ ，

（i）求 $T_{n}$ ；

（ii）证明 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{(T_{k} + b_{k + 2}) b_{k}}{(k + 1) (k + 2)} = \frac{2^{n + 2}}{n + 2} - 2 (n \in N^{*})$ .