设椭圆(a<b<0)的左顶点为A,若椭圆上存在一点P,使∠O-优题课

题文

设椭圆 (a>b>0)的左顶点为A,若椭圆上存在一点P,使∠OPA= (O为原点),求椭圆离心率的取值范围.

科目数学题型解答题难度较易

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已知过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点,斜率为 $2 \sqrt{2}$ 的直线交抛物线于 $A (x_{1}, y_{2}), B (x_{2}, y_{2}), (x_{1} < x_{2})$ 两点，且 $|A B| = 9$ ．
（1）求该抛物线的方程；
（2） $O$ 为坐标原点, $C$ 为抛物线上一点,若 $\overset{⇀}{O C} = \overset{⇀}{O A} + λ \overset{⇀}{O B}$ ,求 $λ$ 的值．

如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = \frac{π}{2}$ , $A B = B C = 2$ , $P$ 为 $A B$ 边上一动点， $P D / / B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ,现将 $△ P D A$ 沿 $P D$ 翻折至 $△ P D A `$ ,使平面 $P D A ` ⊥ 平面 P B C D$ .

（1）当棱锥 $A ` - P B C D$ 的体积最大时，求 $P A$ 的长；
（2）若点 $P$ 为 $A B$ 的中点，E为 $A C `$ 的中点，求证： $A ` B ⊥ D E$ .

在 $△ A B C$ 中， $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，已知 $3 a \cos A = c \cos B + b \cos C$ .
（1）求 $\cos A$ 的值；
(2)若 $a = 1, \cos B + \cos C = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求边 $c$ 的值．

某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共 $5$ 杯，其颜色完全相同，并且其中 $3$ 杯为 $A$ 饮料，另外 $2$ 杯为 $B$ 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从 $5$ 杯饮料中选出 $3$ 杯 $A$ 饮料．若该员工 $3$ 杯都选对，则评为优秀；若3杯选对 $2$ 杯，则评为良好；否则评为及格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
（1）求此人被评为优秀的概率；
（2）求此人被评为良好及以上的概率．

（1）如图，对于任一给定的四面体 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ ，找出依次排列的四个相互平行的平面 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ ，使得 $A_{i} \in α_{i}$ （ $i$ =1,2,3,4），且其中每相邻两个平面间的距离都相等；
（2）给定依次排列的四个相互平行的平面 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ ，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ 的四个顶点满足： $A_{i} \in α_{i}$ （ $i$ =1,2,3,4），求该正四面体 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ 的体积.

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