一组宇航员乘坐太空穿梭机S，去修理位于离地球表面的圆形轨道上-优题课

过山车是游乐场中常见的设施。图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成， $B$ 、 $C$ 、 $D$ 分别是三个圆形轨道的最低点， $B$ 、 $C$ 间距与 $C$ 、 $D$ 间距相等，半径 $R_{1} = 2.0 m$ 、 $R_{2} = 1.4 m$ 。一个质量为 $m = 0.1 k g$ g的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以 $v_{0} = 12.0 m / s$ 的初速度沿轨道向右运动， $A$ 、 $B$ 间距 $L_{1} = 6.0 m$ 。小球与水平轨道间的动摩擦因数 $μ = 0.2$ ，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取 $g = 10 m / s^{2}$ ，计算结果保留小数点后一位数字。试求

（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；
（2）如果小球恰能通过第二个圆形轨道， $B$ 、 $C$ 间距 $L$ 应是多少；
（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径 $R_{3}$ 应满足的条件；小球最终停留点与起点 $A$ 的距离。

如图所示，一个水平放置的圆桶绕轴匀速转动，转动角速度="2.5" rad/s，桶壁上P处有一圆孔，桶璧很薄，桶的半径R=2m。当圆孔运动到桶的上方时,在圆孔的正上方h=3.2m处有一个小球由静止开始下落，已知圆孔的半径略大于小球的半径。试通过计算判断小球是否和圆桶碰撞（不考虑空气阻力，g=10）

如图所示，内半径为R的光滑圆轨道竖直放置，长度比2R稍小的轻质杆两端各固定一个可视为质点的小球A和B，把轻杆水平放入圆形轨道内，若m_A=2m、m_B=m，重力加速度为g，现由静止释放两球使其沿圆轨道内壁滑动，当轻杆到达竖直位置时，求：

A、B两球的速度大小；
A球对轨道的压力；

某球形天体的密度为ρ₀，引力常量为G．
证明对环绕密度相同的球形天体表面运行的卫星，运动周期与天体的大小无关．（球的体积公式为，其中R为球半径）
若球形天体的半径为R，自转的角速度为，表面周围空间充满厚度（小于同步卫星距天体表面的高度）、密度ρ=的均匀介质，试求同步卫星距天体表面的高度．

如图所示，xoy为竖直平面内的一个直角坐标系，y为竖直方向，OA为竖直平面内的光滑抛物线轨道，其方程为：（式中x、y的单位均是国际单位m），将一个质量为m的光滑小环穿在此轨道上，从O点由静止状态沿着此轨道下滑，P是抛物线轨道上的一点，已知O和P两点连线与竖直方向的夹角为45°，求小环通过P点时的速度大小和方向.（重力加速度g=10m/s²）