某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品.
（1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结
果为A级的概率如表一所示，分别求生产
出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；
（2）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、
η分别表示一件甲、乙产品的利润，在
（I）的条件下，求ξ、η的分布列及
Eξ、Eη；
（3）已知生产一件产品需用的工人数和资金额
如表三所示.该工厂有工人40名，可用资.
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金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产
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品的数量，在（II）的条件下，x、y为何
最大？最大值是多少？如图，矩形
所在平面与直角三角形
所在平面互相垂直，
，点
分别是
的中点．
（1）求证： 
∥平面
；
（2）求证：平面
平面
．
已知向量
，
，
．
（1）若
∥
，求角
的大小；
（2）若
，求
的值．
（本小题满分14分）已知函数
，
，其中
．
（1）若函数
，当
时，求函数
的极值；
（2）若函数
在区间
上为减函数，求
的取值范围；
（3）证明：
．
（本小题满分14分）已知抛物线
：
的焦点为
，点
是直线
与抛物
线在第一象限的交点，且
.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线
与抛物线有唯一公共点
，且直线
与抛物线的准线交于点
,试探究，在
坐标平面内是否存在点
，使得以
为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，
说明理由.
（本小题满分14分）已知
为数列
的前
项和，
（
），且
．
（1）求
的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）求证：
．