(本小题满分14分)已知线性变换是按逆时针方向旋转
的旋转变换,其对应的矩阵为
,线性变换
:
对应的矩阵为
.
(Ⅰ)写出矩阵、
;
(Ⅱ)若直线在矩阵
对应的变换作用下得到方程为
的直线,求直线
的方程.
(本小题满分14分)已知函数,
(
且
为常数).
(Ⅰ)若曲线在
处的切线过点
,求实数
的值;
(Ⅱ)若存在实数,
,使得
成立,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)判断函数在
上的零点个数,并说明理由.
(本小题满分13分)已知动圆过定点
且与
轴截得的弦
的长为
.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹
的方程;
(Ⅱ)已知点,动直线
和坐标轴不垂直,且与轨迹
相交于
两点,试问:在
轴上是否存在一定点
,使直线
过点
,且使得直线
,
,
的斜率依次成等差数列?若存在,请求出定点
的坐标;否则,请说明理由.
(本小题满分13分)如图1,直角梯形中,
,
,
.
交
于点
,点
,
分别在线段
,
上,且
.将图1中的
沿
翻折,使平面
⊥平面
(如图2所示),连结
、
,
、
.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)当三棱锥的体积最大时,求直线
与平面
所成角的正弦值.
(本小题满分13分)已知函数,方程
在
上的解按从小到大的顺序排成数列
.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,数列
的前
项和为
,求
的表达式.