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科目数学题型解答题难度中等

知识点：高阶矩阵与特征向量

已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x - \ln x (a, b \in R)$ .

(Ⅰ)设 $a \geq 0$ ，求 $f (x)$ 的单调区间;
(Ⅱ) 设 $a > 0$ ，且对于任意 $x > 0$ ， $f (x) \geq f (1)$ .试比较 $\ln a$ 与 $- 2 b$ 的大小.

设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4} = 4 S_{2}$ , $a_{2 n} = 2 a_{n} + 1$ .
(Ⅰ)求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式;
(Ⅱ)设数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $\frac{b_{1}}{a_{1}} + \frac{b_{2}}{a_{2}} + \dots + \frac{b_{n}}{a_{n}} = 1 - \frac{1}{2^{n}}$ $(n \in N)$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ⊥ A C, A B ⊥ P A, A B / / C D, A B = 2 C D,$ $E, F, G, M, N$ 分别为 $P B, A B, B C, P D, P C$ 的中点.

(Ⅰ)求证： $D E / /$ 平面 $P A D$ ;
(Ⅱ)求证：平面 $E F G$ $⊥$ 平面 $E M N$ .

设函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \sin^{2} ω x - \sin ω x \cos ω x (ω > 0)$ ,且 $y = f (x)$ 的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 $\frac{π}{4}$ ，
(Ⅰ)求 $ω$ 的值；
(Ⅱ)求 $f (x)$ 在区间 $[π, \frac{3 π}{2}]$ 上的最大值和最小值.

某小组共有 $A, B, C, D, E$ 五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指标（单位:千克/米²）如下表所示：

	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$
身高	1.69	1.73	1.75	1.79	1.82
体重指标	19.2	25.1	18.5	23.3	20.9

(Ⅰ)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率
(Ⅱ)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在 $[18.5, 23.9)$ 中的概率.

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