设，求函数的单调区间.-优题课

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设，求函数的单调区间.

科目数学题型解答题难度较难

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已知函数 $f (x) = \sin (3 x + \frac{π}{4})$ .
（1）求 $f (x)$ 的单调递增区间；
（2）若 $α$ 是第二象限角， $f (\frac{α}{3}) = \frac{4}{5} \cos (α + \frac{π}{4}) \cos 2 α$ ，求 $\cos α - \sin α$ 的值.

已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{1}{3} a_{n} \leq a_{n + 1} \leq 3 a_{n}, n \in N^{+}, a_{1} = 1$ .
（1）若 $a_{2} = 2, a_{3} = x, a_{4} = 9$ ，求 $x$ 的取值范围；
（2）若 ${a_{n}}$ 是公比为 $q$ 等比数列， $S_{n} = a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}$ ， $\frac{1}{3} S_{n} \leq S_{n + 1} \leq 3 S_{n}, n \in N^{+}$ 求 $q$ 的取值范围；
（3）若 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{k}$ 成等差数列，且 $a_{1} + a_{2} + . . . + a_{k} = 1000$ ，求正整数 $k$ 的最大值，以及 $k$ 取最大值时相应数列 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{k}$ 的公差.

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于直线 $l : a x + b y + c = 0$ 和点 $P_{1} (x_{1}, y_{1}), P_{2} (x_{2}, y_{2})$ 记 $η = (a x_{1} + b y_{1} + c) (a x_{2} + b y_{2} + c)$ 若 $η < 0$ ，则称点 $P_{1}, P_{2}$ 被直线 $l$ 分隔.若曲线 $C$ 与直线 $l$ 没有公共点，且曲线 $C$ 上存在点 $P_{1}, P_{2}$ 被直线 $l$ 分隔，则称直线 $l$ 为曲线 $C$ 的一条分隔线.
(1)求证：点 $A (1, 2), B (- 1, 0)$ 被直线 $x + y - 1 = 0$ 分隔；

(2)若直线 $y = k x$ 是曲线 $x^{2} - 4 y^{2} = 1$ 的分隔线，求实数 $k$ 的取值范围；
(3)动点 $M$ 到点 $Q (0, 2)$ 的距离与到 $y$ 轴的距离之积为1，设点 $M$ 的轨迹为 $E$ ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是 $E$ 的分割线.

如图,某公司要在 $A$ 、 $B$ 两地连线上的定点 $C$ 处建造广告牌 $C D$ ,其中 $D$ 为顶端, $A C$ 长35米, $C B$ 长80米,设 $A$ 、 $B$ 在同一水平面上,从 $A$ 和 $B$ 看 $D$ 的仰角分别为 $α 和 β$ .

（1）设计中 $C D$ 是铅垂方向,若要求 $α \geq 2 β$ ,问 $C D$ 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后 $C D$ 与铅垂方向有偏差，现在实测得 $α = 38 . 12^{°}, β = 18 . 45^{°}$ ,求 $C D$ 的长（结果精确到0.01米）？

设常数 $a \geq 0$ ，函数 $f (x) = \frac{2^{x} + a}{2^{x} - a}$ .
（1）若 $a = 4$ ，求函数 $y = f (x)$ 的反函数 $y = f^{- 1} (x)$ ；
（2）根据 $a$ 的不同取值，讨论函数 $y = f (x)$ 的奇偶性，并说明理由.

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