如图，设抛物线方程为x22py(p<0),M为直线y2p上任-优题课

题文

如图，设抛物线方程为 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ , $M$ 为直线 $y = - 2 p$ 上任意一点，过 $M$ 引抛物线的切线，切点分别为 $A, B$ .

（Ⅰ）求证： $A, M, B$ 三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当 $M$ 点的坐标为 $(2, - 2 p)$ 时， $(A B) = 4 \sqrt{10}$ ，求此时抛物线的方程；
（Ⅲ）是否存在点 $M$ ，使得点 $C$ 关于直线 $A B$ 的对称点 $D$ 在抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上，其中，点 $C$ 满足 $\overset{⇀}{O C} = \overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B}$ （ $O$ 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

科目数学题型解答题难度较易

知识点：参数方程

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