设函数（Ⅰ）若，函数是否有极值，若有则求出极值，若没有，请说-优题课

设函数
（Ⅰ）若，函数是否有极值，若有则求出极值，若没有，请说明理由.
（Ⅱ）若在其定义域内为单调函数，求实数p的取值范围.

科目数学题型解答题难度较难

如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，侧棱 $A_{1} A ⊥ 底面 A B C D$ , $A B ⊥ A C, A B = 1, A C = A A_{1} = 2, A D = C D = \sqrt{5}$ ,且点M和N分别为 $B_{1} C 和 D_{1} D$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $M N ∥$ 平面 $A B C D$ ；
（Ⅱ）求二面角 $D_{1} - A C - B_{1}$ 的正弦值；
（Ⅲ）设 $E$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点，若直线 $N E$ 和平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求线段 $A_{1} E$ 的长

为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
（Ⅰ）设 $A$ 为事件"选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会"求事件 $A$ 发生的概率；
（Ⅱ）设 $X$ 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.

已知函数 $f (x) = \sin^{2} x - \sin^{2} (x - \frac{π}{6}), x \in R$

（Ⅰ）求 $f (x)$ 最小正周期;
（Ⅱ）求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值.

已知函数 $f (x) = - 2 \ln x + x^{2} - 2 a x + a^{2}$ ，其中 $a > 0$ .
（Ⅰ）设 $g (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，讨论 $g (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）证明：存在 $a \in (0, 1)$ ，使得 $f (x) \geq 0$ 恒成立，且 $f (x) = 0$ 在区间 $(1, + \infty)$ 内有唯一解.

如图,椭圆E: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ,点 $P (0, 1)$ 在短轴 $C D$ 上,且 $\overset{⇀}{P C} \cdot \overset{⇀}{P D} = - 1$

（Ⅰ）求椭圆 $E$ 的方程；
（Ⅱ）设 $O$ 为坐标原点,过点 $P$ 的动直线与椭圆交于 $A 、 B$ 两点.是否存在常数 $λ$ ,使得 $\overset{⇀}{O A} \cdot \overset{⇀}{O B} + λ \overset{⇀}{P A} \cdot \overset{⇀}{P B}$ 为定值？若存在,求 $λ$ 的值;若不存在,请说明理由.

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