设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$ 的左右焦点分别为 $F_1,F_2$ ，离心率 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，右准线为 $l,M,N$ 是 $l$ 上的两个动点， $\stackrel{\rightharpoonup }{F_{1}M}·\stackrel{\rightharpoonup }{F_{2}N}=0$ 。

（Ⅰ）若 $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{F_{1}M}\right|=\left|\stackrel{\rightharpoonup }{F_{2}N}\right|=2\sqrt{5}$ ，求 $a,b$ 的值；
（Ⅱ）证明：当 $\left|MN\right|$ 取最小值时， $\stackrel{\rightharpoonup }{F_{1}M}+\stackrel{\rightharpoonup }{F_{2}N}$ 与 $\stackrel{\rightharpoonup }{F_1{F}_2}$ 共线。

科目 数学   题型 解答题   难度 中等