（本小题共13分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，-优题课

如图， $C D$ 为 $△ A B C$ 外接圆的切线， $A B$ 的延长线交直线 $C D$ 于点 $D, E, F$ 分别为弦 $A B$ 与弦 $A C$ 上的点，且 $B C \cdot A E = D C \cdot A F, B, E, F, C$ 四点共圆.

（Ⅰ）证明： $C A$ 是 $△ A B C$ 外接圆的直径；
（Ⅱ）若 $D B = B E = E A$ ,求过 $B, E, F, C$ 四点的圆的面积与 $△ A B C$ 外接圆面积的比值.

已知函数 $f (x) = e^{x} - \ln (x + m)$ .
 (Ι)设 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极值点，求 $m$ ，并讨论 $f (x)$ 的单调性；

（Ⅱ）当 $m \leq 2$ 时，证明 $f (x) > 0$ .

平面直角坐标系 $x O y$ 中，过椭圆 $M :$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 右焦点的直线 $x + y - \sqrt{3} = 0$ 交 $M$ 于 $A, B$ 两点， $P$ 为 $A B$ 的中点，且 $O P$ 的斜率为.
(Ι)求 $M$ 的方程；
（Ⅱ） $C, D$ 为 $M$ 上的两点，若四边形 $A C B D$ 的对角线 $C D ⊥ A B$ ，求四边形面积的最大值

经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 $1 t$ 该产品获利润 $500$ 元，未售出的产品，每 $1 t$ 亏损 $300$ 元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了 $130 t$ 该农产品.以 $x$ （单位： $t$ ， $100 \leq x \leq 150$ ）表示下一个销售季度内经销该农产品的数量， $T$ 表示利润.

（Ⅰ）将 $T$ 表示为 $x$ 的函数
（Ⅱ）根据直方图估计利润 $T$ 不少于 $57000$ 元的概率;
（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若 $x \in [100, 110)$ ,则取 $x = 105$ ，且 $x = 105$ 的概率等于需求量落入 $[100, 110)$ ，求 $T$ 的数学期望.

如图，直棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D, E$ 分别是 $A B, B B_{1}$ 的中点， $A A_{1} = A C = C B = \frac{\sqrt{2}}{2} A B$ .

（Ⅰ）证明： $B C_{1} / /$ 平面 $A_{1} C D$ ；
（Ⅱ）求二面角 $D - A_{1} C - E$ 的正弦值.