已知,求x2y2的最值.-优题课

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。
（1） $\sin^{2} 13^{°} + \cos^{2} 17^{°} - \sin 13^{°} \cos 17^{°}$

（2） $\sin^{2} 15^{°} + \cos^{2} 15^{°} - \sin 15^{°} \cos 15^{°}$

（3） $\sin^{2} 18^{°} + \cos^{2} 12^{°} - \sin 18^{°} \cos 12^{°}$

（4） $\sin^{2} (- 18^{°}) + \cos^{2} 48^{°} - \sin^{2} (- 18^{°}) \cos^{2} 48^{°}$

（5） $\sin^{2} (- 25^{°}) + \cos^{2} 55 ° - \sin^{2} (- 25^{°}) \cos^{2} 55^{°}$

(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数.
(Ⅱ)根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论.

受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：

品牌	甲	乙
首次出现故障时间 $x$ （年）	$0 < x < 1$	$1 < x \leq 2$	$x > 2$	$0 < x \leq 2$	$x > 2$
轿车数量（辆）	2	3	45	5	45
每辆利润（万元）	1	2	3	1.8	2.9

将频率视为概率，解答下列问题：

（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
(II)若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为 $X_{1}$ ，生产一辆乙品牌轿车的利润为 $X_{2}$ ，分别求 $X_{1}$ ， $X_{2}$ 的分布列；
（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由

设 $A$ 是由 $m \times n$ 个实数组成的 $m$ 行 $n$ 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记 $s (m, n)$ 为所有这样的数表构成的集合。
对于 $A \in s (m, n)$ ,记 $r_{i} (A)$ 为 $A$ 的第 $i$ 行各数之和（ $1 \leq i \leq m$ ）， $C_{j} A$ 为 $A$ 的第 $j$ 列各数之和（ $1 \leq j \leq n$ ）：
记 $K (A)$ 为 $|R_{1} (A)|$ , $|R_{2} (A)|$ ,…, $|R_{m} (A)|$ , $|C_{1} (A)|$ , $|C_{2} (A)|$ ,…, $|C_{n} (A)|$ 中的最小值。

对如下数表 $A$ ，求 $K (A)$ 的值；

1	1	-0.8
0.1	-0.3	-1

（2）设数表 $A \in S$ （2,3）形如

1	1	$c$
$a$	$b$	-1

求 $K (A)$ 的最大值；
（3）给定正整数 $t$ ，对于所有的 $A \in S$ （2,2 $t$ +1），求 $K (A)$ 的最大值。

已知曲线 $C : (5 - m) x^{2} + (m - 2) y^{2} = 8 (m \in R)$ .
（1）若曲线 $C$ 是焦点在x轴点上的椭圆，求 $m$ 的取值范围；
（2）设 $m = 4$ ，曲线 $C$ 与 $y$ 轴的交点为 $A, B$ （点 $A$ 位于点 $B$ 的上方），直线 $y = k x + 4$ 与曲线 $C$ 交于不同的两点 $M, N$ ,直线 $y = 1$ 与直线 $B M$ 交于点 $G$ .求证： $A, G, N$ 三点共线.

已知函数 $f (x) = a x^{2^{}} + 1$ ， $(a > 0)$ ， $g (x) = x^{3} + b x$ .

（1）若曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = g (x)$ 在它们的交点 $(1, c)$ 处具有公共切线，求 $a, b$ 的值
（2）当 $a^{2^{}} = 4 b$ 时，若函数 $f (x) + g (x)$ 的单调区间，并求其在区间 $(- \infty, - 1)$ 上的最大值.