定义区间的区间长度为，已知函数的定义域为，值域为，求区间的长-优题课

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点为F ₁（-1、0），F ₂（1，0）．过F ₂作x轴的垂线l ，在x轴的上方，l与圆F ₂: ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4 a^{2}$ 交于点A ，与椭圆C交于点D.连结AF ₁并延长交圆F ₂于点B ，连结BF ₂交椭圆C于点E ，连结DF ₁．已知DF ₁= $\frac{5}{2}$ ．

（1）求椭圆 C的标准方程；

（2）求点 E的坐标．

如图，在直三棱柱ABC－A ₁B ₁C ₁中，D ， E分别为BC ， AC的中点，AB=BC ．

求证：

（1） A ₁ B ₁∥平面 DEC ₁；

（2） BE⊥ C ₁ E．

在△ABC中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c

（1）若 a=3 c ， b= $\sqrt{2}$ ，cos B= $\frac{2}{3}$ ，求 c的值；

（2）若 $\frac{\sin A}{a} = \frac{\cos B}{2 b}$ ，求 $\sin (B + \frac{π}{2})$ 的值．

设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x ₁、x ₂∈R，当x ₁＜x ₂时，都有f（x ₁）≤f（x ₂）.

（1）若f（x）=ax ³+1，求a的取值范围；

（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；

（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明："h（x）是周期函数"的充要条件是"f（x）是常值函数"．

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2}$ =1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．

（1）若P在第一象限，且|OP|= $\sqrt{2}$ ，求P的坐标；

（2）设P（ $\frac{8}{5} ， \frac{3}{5}$ ），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；

（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且 $\vec{AQ} = 2 \vec{AC}$ ， $\vec{PQ} = 4 \vec{PM}$ ，求直线AQ的方程．