（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题8分，第（3）小题4分）
已知椭圆
的左右焦点分别为
，短轴两个端点为
，且四边形
是边长为2的正方形。
（1）求椭圆方程；
（2）若
分别是椭圆长轴的左右端点，动点
满足
，连接
，交椭圆于
点
。证明：
为定值；
（3）在（2）的条件下，试问
轴上是否存在异于点
的定点
，使得以
为直径的圆恒过直线
的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
（本小题满分13分）已知函数
的最小正周期为
.
（1）求
的值；
（2）将函数
的图象上各点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变，得到函
数
的图象，求函数在区间
上的最小值.
本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分．
已知函数
，其中
．定义数列
如下：
，
,
．
（1）当
时，求
，
，
的值；
（2）是否存在实数
，使，，构成公差不为
的等差数列？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由；
（3）求证：当
时，总能找到
，使得
．
本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分．
已知椭圆
（
）的焦距为
，且椭圆
的短轴的一个端点与左、右焦点
、
构成等边三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设
为椭圆上上任意一点，求
的最大值与最小值；
（3）试问在
轴上是否存在一点
，使得对于椭圆上任意一点
，到的距离与到直线
的距离之比为定值．若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分9分．
某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数
与时刻
（时）的关系为
,
,其中
是与气象有关的参数,且
．若用每天的最大值为当天的综合污染指数,并记作
．
（1）令
,,求
的取值范围；
（2）求的表达式,并规定当
时为综合污染指数不超标,求当在什么范围内时,该市市中心的综合污染指数不超标．
本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，四棱锥
的底面
为菱形，
平面，
，
，
、
分别为
、
的中点．
（1）求证：
平面
；
（2）求三棱锥
的体积．