（本小题满分12分）
设O为坐标原点，点P的坐标
（I）在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x，y，求|OP|的最
大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；
（II）若利用计算机随机在[0，3]上先后取两个数分别记为x，y，求P点在第一象限的概率.
已知函数
.
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数
，使得函数的极大值等于
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是
，样本数据分组为
，
，
，
，
.
（Ⅰ）求直方图中
的值；
（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；
（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为
，求的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）
在四棱锥
中，
//
，
，
，
平面
，
.
（Ⅰ）设平面
平面
，求证：//
；
（Ⅱ）求证：
平面
；
（Ⅲ）设点
为线段
上一点，且直线
与平面所成角的正弦值为
，求
的值．
在
中，角
，
，
的对边分别为
，且，，成等差数列.
（Ⅰ）若
，
，求
的值；
（Ⅱ）设
，求
的最大值.
已知各项均为非负整数的数列
，满足
，
．若存在最小的正整数
，使得
，则可定义变换
，变换将数列
变为数列
．设
，
．
（Ⅰ）若数列
，试写出数列
；若数列
，试写出数列
；
（Ⅱ）证明存在唯一的数列，经过有限次变换，可将数列变为数列
；
（Ⅲ）若数列，经过有限次变换，可变为数列．设
，
，求证
，其中
表示不超过
的最大整数．