解关于的不等式：-优题课

（本小题满分共12分）已知．设．
（Ⅰ）求在上的最大值．
（Ⅱ）当时，试比较与的大小，并证明．

（本小题满分12分）已知点为轴上的动点，点为轴上的动点．点为定点，且满足，
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程．
（Ⅱ）是上的两个动点，为的中垂线，求当的斜率为2时，在轴上的截距的范围．

（本小题满分12分）为了分流地铁高峰的压力，市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过公里的地铁票价如下表：

乘坐里程（单位：）
票价（单位：元）

现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过公里．已知甲、乙乘车不超过公里的概率分别为，，甲、乙乘车超过公里且不超过公里的概率分别为，．
（Ⅰ）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望．

（本小题满分12分）如图1，在矩形中，，，将沿矩形的对角线翻折，得到如图2所示的几何体，使得＝．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若在上存在点，使得，求二面角的余弦值．

（本小题满分12分）数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证:．