（本小题满分12分）如图，在正三棱柱中，分别是的中点,．（Ⅰ-优题课

（本小题满分12分）如图，在正三棱柱中，分别是的中点,．

（Ⅰ）在棱上是否存在点使？如果存在，试确定它的位置；如果不存在，请说明理由；
（Ⅱ）求截面与底面所成锐二面角的正切值；
（Ⅲ）求点到截面的距离．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：立体图形的结构特征

某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：

（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；
（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元， $ξ$ 表示该种商品两周销售利润的和(单位：千元).若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求 $ξ$ 的分布列和数学期望．

在 $∆ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 对边的边长分别是 $a, b, c$ ，已知 $c = 2, C = \frac{π}{3}$ ．
（Ⅰ）若 $∆ A B C$ 的面积等于 $\sqrt{3}$ ，求 $a, b$ ；
（Ⅱ）若 $\sin C + \sin (B - A) = 2 \sin 2 A$ ，求 $∆ A B C$ 的面积．

已知曲线 $C$ 是到点 $P (- \frac{1}{2}, \frac{3}{8})$ 和到直线 $y = - \frac{5}{8}$ 距离相等的点的轨迹， $l$ 是过点 $Q (- 1, 0)$ 的直线是 $C$ 上（不在 $l$ 上）的动点； $A$ 、 $B$ 在 $l$ 上， $M A ⊥ l$ , $M B ⊥ x 轴$ 轴（如图）.

（Ⅰ）求曲线 $C$ 的方程；
（Ⅱ）求出直线 $l$ 的方程，使得 $\frac{{|Q B|}^{2}}{|Q A|}$ 为常数.

已知 $a$ 是实数，函数 $f (x) = x^{2} (x - a)$ .
（Ⅰ）若 $f ` (1) = 3$ ,求 $a$ 的值及曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；
（Ⅱ）求 $f (x)$ 在区间 $[0, 2]$ 上的最大值。

如图，矩形 $A B C D$ 和梯形 $B E F C$ 所在平面互相垂直， $∠ B C F = ∠ C E F = 90^{°}$ , $A D = \sqrt{3}, E F = 2$ .

（Ⅰ）求证： $A E / /$ 平面 $D C F$ ；
（Ⅱ）当 $A B$ 的长为何值时，二面角 $A - E F - C$ 的大小为 $60^{°}$ .

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