（本小题满分12分）
某社区举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案，参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖．
（Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是
，求抽奖者获奖的概率；
（Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用
表示获奖的人数，求的分布列及
．
（本题12分）设函数
，
（1）若
，用单调性定义证明上是增函数。
（2）若
的图象与
的图象关于
对称，求函数
的解析式。
（本题12分）已知命题
关于
的方程
有正根；命题
不等式
的解集为
，
或
是真命题，且是假命题，求实数
的范围。
（本题14分）数列
的各项均为正数，
为其前
项和，对于任意
总有
成等差数列。
（1）求的通项公式；
（2）设数列
的前项和为
，且
，求证对任意的实数
和任意的整数总有
；
（3）正数数列
中，
，求数列的最大项。
（本题13分）已知
。
（1）若
，求
上的最大值与最小值；
（2）当
时，求证
；
（3）当
时，求证：
（本题12分）某汽车厂有一条价值为
万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值
万元与技术改造投入
万元之间满足：①与
成正比；②当
时，
，并且技术改造投入满足
，其中
为常数且
。
（1）求
表达式及定义域；
（2）求出产品增加值的最大值及相应的值。