(示范性高中做)如图，四面体
中，
是
的中点，
和
均为等边三角形，
.
（I）求证：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值.
如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了并流入杯中，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由。（冰、水的体积差异忽略不计）
已知集合
，对于数列
中
.
（Ⅰ）若三项数列满足
，则这样的数列有多少个？
（Ⅱ）若各项非零数列和新数列
满足首项
，
（
），且末项
，记数列的前
项和为
，求的最大值．
已知椭圆
：
（
）过点
，且椭圆的离心率为
.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若动点
在直线
上，过作直线交椭圆于
两点，且为线段
中点，再过作直线
.证明：直线
恒过定点，并求出该定点的坐标.
已知函数
（
为自然对数的底数）.
（Ⅰ）求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若存在
使不等式
成立，求实数
的取值范围.
如图，已知
平面
，四边形是矩形，
，
，点
，
分别是
，
的中点．
（Ⅰ）求三棱锥
的体积；
（Ⅱ）求证：
平面
；
（Ⅲ）若点
为线段
中点，求证：
∥平面
．