如图，在 $Rt∆AOB$ 中， $\angle AOB=\frac{\pi }{6}$ ，斜边 $AB=4$ ． $Rt∆AOC$ 可以通过 $Rt∆AOB$ 以直线 $AO$ 为轴旋转得到，且二面角 $B-AO-C$ 是直二面角．动点 $D$ 的斜边 $AB$ 上．
（I）求证：平面 $COD\perp$ 平面 $AOB$ ；
（II）当 $D$ 为 $AB$ 的中点时，求异面直线 $AO$ 与 $CD$ 所成角的大小；
（III）求 $CD$ 与平面 $AOB$ 所成角的最大值．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难