（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝x2(x－3a)＋1
(a＞0，x∈R).
（I）求函数y＝f(x)的极值；
（II）函数y＝f(x)在(0，2)上单调
递减，求实数a的取值范围；
（III）若在区间(0，＋∞)上存在实数x0，使得不等式f(x0)－4a3≤0能成立，求实数a的取值范围.
（本小题共13分）
在
中，角A、B、C的对边分别为
、
、
，角A、B、C成等差数列，
，边的长为
．
（I）求边的长；
（II）求的面积．
已知定义在实数集上的函数
，
，其导函数记为
，且满足：
，
为常数．
（Ⅰ）试求
的值；
（Ⅱ）设函数
与
的乘积为函数
，求的极大值与极小值；
（Ⅲ）试讨论关于
的方程
在区间
上的实数根的个数．
设MN是双曲线
的弦，且MN与
轴垂直，
、
是双曲线的左、右顶点．
（Ⅰ）求直线
和
的交点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）
设直线y=x－1与轨迹C交于A、B两点，若轨迹C上的点P满足
(
为坐标原点，
，
)
求证：
为定值,并求出这个定值．
如图，在矩形
中，
是
的中点，以
为折痕将
向上折起，使
为
，且平面
平面
．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值．
某工厂每月生产某种产品三件，经检测发现，工厂生产该产品的合格率为
，已知生产一件合格品能盈利25万元，生产一件次品将会亏损10万元，假设该产品任何两件之间合
格与否相互没有影响．
(Ⅰ)求工厂每月盈利额ξ(万元)的所有可能取值；
(Ⅱ)若该工厂制定了每月盈利额不低于40万元的目标，求该工厂达到盈利目标的概率；
(Ⅲ)求工厂每月盈利额ξ的分布列和数学期望．