中内角的对边分别为，向量且（Ⅰ）求锐角的大小，（Ⅱ）如果，求-优题课

中内角的对边分别为，
向量且
（Ⅰ）求锐角的大小，
（Ⅱ）如果，求的面积的最大值

科目数学题型解答题难度中等

已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 $a$ （单位： $m^{2}$ ），其中有部分旧住房需要拆除。当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 $10 %$ 建设新住房，同事也拆除面积为 $b$ （单位： $m^{2}$ ）的旧住房。
（Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：
（Ⅱ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 $30 %$ ，则每年拆除的旧住房面积 $b$ 是多少？（计算时取 $1 . 1^{5} = 1.6$ ）

如图，在四面体 $A B O C$ 中， $O C ⊥ O A$ 。 $O C ⊥ O B$ ， $∠ A O B = 120^{°}$ ，且 $O A = O B = O C = 1$

（Ⅰ）设 $P$ 为 $A C$ 的中点， $Q$ 在 $A B$ 上且 $A B = 3 A Q$ ，证明： $P Q ⊥ O A$ ；
（Ⅱ）求二面角 $O - A C - B$ 的平面角的余弦值。

为了了解一个小水库中养殖的鱼有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：千克），并将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）

（Ⅰ）在答题卡上的表格中填写相应的频率；
（Ⅱ）估计数据落在（1.15,1.30）中的概率为多少；
（Ⅲ）将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数。

已经函数 $f (x) = \frac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{2}, g (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x - \frac{1}{4}$

(Ⅰ)函数 $f (x)$ 的图象可由函数 $g (x)$ 的图象经过怎样变化得出？
(Ⅱ)求函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 的最小值，并求使用 $h (x)$ 取得最小值的 $x$ 的集合。

已知函数 $f (x) = a x + \frac{b}{x} + c (a > 0)$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = x - 1$ .

(I)用 $a$ 表示出 $b, c$ ;

(II)若 $f (x) \geq \ln x$ 在 $[1, + \infty)$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(III)证明： $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + . . . + \frac{1}{n} > \ln (n + 1) + \frac{n}{2 (n + 1)} (n \geq 1)$ .

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