（本小题满分12分）某企业2005年的利润为500万元，因设-优题课

（本小题满分12分）某企业2005年的利润为500万元，因设备老化等原因，若不进行技术改造，预计企业利润将从2006年开始每年减少20万元。为此企业在2006年一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第年利润为万元。
（1）若不进行技术改造，则从2006年起的前年的利润共万元；若进行技术改造后，则从2006年起的前年的纯利润（扣除技术改造600万元资金）共万元，分别求；
（2）依据预测，从2006年起至少经过多少年技术改造后的纯利润超过不改造的利润？

科目数学题型解答题难度中等

如图，正方形 $A B C D$ 和四边形 $A C E F$ 所在的平面互相垂直. $E F / / A C, A B = \sqrt{2}, C E = E F = 1$ .

（Ⅰ）求证： $A F / /$ 平面 $B D E$ ；
（Ⅱ）求证： $C F ⊥$ 平面 $B D F$ ;

已知 $|a_{n}|$ 为等差数列,且 $a_{3} = - 6, a_{6} = 0$ .

（Ⅰ）求 $|a_{n}|$ 的通项公式;
（Ⅱ）若等差数列 $|b_{n}|$ 满足 $b_{1} = - 8, b_{2} = a_{1} + a_{2} + a_{3}$ ,求 $|b_{n}|$ 的前 $n$ 项和公式.

已知函数 $f (x) = 2 \cos 2 x + \sin x$ .

（Ⅰ）求 $f (\frac{π}{3})$ 的值；
（Ⅱ）求 $f (x)$ 的最大值和最小值

已知函数 $f (x) ＝ x$ ， $g (x) ＝ a \ln x$ ， $a \in R$

（Ⅰ）若曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = g (x)$ 相交，且在交点处有共同的切线，求 $a$ 的值和该切线方程；

（Ⅱ）设函数 $h (x) = f (x) - g (x ）$ ，当 $h (x)$ 存在最小值时，求其最小值 $φ (a)$ 的解析式；

（Ⅲ）对（Ⅱ）中的 $φ (a)$ 和任意的 $a ＞ 0, b ＞ 0$ ，证明： $φ ` = (\frac{a + b)}{2} \leq \frac{φ ` (a) + φ ` (b)}{2} \leq φ ` (\frac{2 a b}{a + b})$ .

如图，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的顶点为 $A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}$ ，焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ， $| A_{1} B_{1} | = \sqrt{7}$ , $S_{▱ B_{1} A_{1} B_{2} A_{2}} = 2 S_{▱ B_{1} F_{1} B_{2} F_{2}}$ .

(Ⅰ)求椭圆 $C$ 的方程；

(Ⅱ)设 $n$ 为过原点的直线， $l$ 是与 $n$ 垂直相交于 $P$ 点，与椭圆相交于 $A$ , $B$ 两点的直线， $| \overset{⇀}{O P} | = 1$ .是否存在上述直线 $l$ 使 $\overset{⇀}{O A} \cdot \overset{⇀}{O B} = 0$ 成立？若存在，求出直线 $l$ 的方程；并说出；若不存在，请说明理由.

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