解不等式组-优题课

如图，在平面直角坐标系中，有抛物线 $y = a {(x - h)}^{2}$ ．抛物线 $y = a {(x - 3)}^{2} + 4$ 经过原点，与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，与其对称轴交于点 $B$ ， $P$ 是抛物线 $y = a {(x - 3)}^{2} + 4$ 上一点，且在 $x$ 轴上方，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交抛物线 $y = a {(x - h)}^{2}$ 于点 $Q$ ，过点 $Q$ 作 $PQ$ 的垂线交抛物线 $y = a {(x - h)}^{2}$ 于点 $Q'$ （不与点 $Q$ 重合），连结 $PQ'$ ，设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ．

（1）求 $a$ 的值；

（2）当抛物线 $y = a {(x - h)}^{2}$ 经过原点时，设 $ΔPQQ'$ 与 $ΔOAB$ 重叠部分图形的周长为 $l$ ．

①求 $\frac{PQ}{QQ'}$ 的值；

②求 $l$ 与 $m$ 之间的函数关系式；

（3）当 $h$ 为何值时，存在点 $P$ ，使以点 $O$ ， $A$ ， $Q$ ， $Q'$ 为顶点的四边形是轴对称图形？直接写出 $h$ 的值．

如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$ ， $AB = 8$ ， $∠ BAD = 60 °$ ，点 $E$ 从点 $A$ 出发，沿 $AB$ 以每秒2个单位长度的速度向终点 $B$ 运动，当点 $E$ 不与点 $A$ 重合时，过点 $E$ 作 $EF ⊥ AD$ 于点 $F$ ，作 $EG / / AD$ 交 $AC$ 于点 $G$ ，过点 $G$ 作 $GH ⊥ AD$ 交 $AD$ （或 $AD$ 的延长线）于点 $H$ ，得到矩形 $EFHG$ ，设点 $E$ 运动的时间为 $t$ 秒

（1）求线段 $EF$ 的长（用含 $t$ 的代数式表示）；

（2）求点 $H$ 与点 $D$ 重合时 $t$ 的值；

（3）设矩形 $EFHG$ 与菱形 $ABCD$ 重叠部分图形的面积与 $S$ 平方单位，求 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式；

（4）矩形 $EFHG$ 的对角线 $EH$ 与 $FG$ 相交于点 $O'$ ，当 $OO' / / AD$ 时， $t$ 的值为　　；当 $OO' ⊥ AD$ 时， $t$ 的值为　　．

感知：如图1， $AD$ 平分 $∠ BAC$ ． $∠ B + ∠ C = 180 °$ ， $∠ B = 90 °$ ，易知： $DB = DC$ ．

探究：如图2， $AD$ 平分 $∠ BAC$ ， $∠ ABD + ∠ ACD = 180 °$ ， $∠ ABD < 90 °$ ，求证： $DB = DC$ ．

应用：如图3，四边形 $ABCD$ 中， $∠ B = 45 °$ ， $∠ C = 135 °$ ， $DB = DC = a$ ，则 $AB - AC =$ 　 $\sqrt{2} a$ 　（用含 $a$ 的代数式表示）

甲、乙两车分别从 $A$ 、 $B$ 两地同时出发，甲车匀速前往 $B$ 地，到达 $B$ 地立即以另一速度按原路匀速返回到 $A$ 地；乙车匀速前往 $A$ 地，设甲、乙两车距 $A$ 地的路程为 $y$ （千米），甲车行驶的时间为 $x$ （时 $)$ ， $y$ 与 $x$ 之间的函数图象如图所示．

（1）求甲车从 $A$ 地到达 $B$ 地的行驶时间；

（2）求甲车返回时 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

（3）求乙车到达 $A$ 地时甲车距 $A$ 地的路程．

如图，在 $▱ ABCD$ 中，点 $E$ 在边 $BC$ 上，点 $F$ 在边 $AD$ 的延长线上，且 $DF = BE$ ， $EF$ 与 $CD$ 交于点 $G$ ．

（1）求证： $BD / / EF$ ；

（2）若 $\frac{DG}{GC} = \frac{2}{3}$ ， $BE = 4$ ，求 $EC$ 的长．