某中学积极响应钦州园林生活十年计划的号召，组织团员植树300-优题课

某中学积极响应“钦州园林生活十年计划”的号召，组织团员植树300棵．实际参加植树的团员人数是原计划的1.5倍，这样，实际人均植树棵数比原计划的少2棵，求原计划参加植树的团员有多少人？

科目数学题型解答题难度中等

知识点：几何不等式

如图，已知 $BD$ 是矩形 $ABCD$ 的对角线．

（1）用直尺和圆规作线段 $BD$ 的垂直平分线，分别交 $AD$ 、 $BC$ 于 $E$ 、 $F$ （保留作图痕迹，不写作法和证明）．

（2）连接 $BE$ ， $DF$ ，问四边形 $BEDF$ 是什么四边形？请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(5, 0)$ ，菱形 $OABC$ 的顶点 $B$ ， $C$ 都在第一象限， $\tan ∠ AOC = \frac{4}{3}$ ，将菱形绕点 $A$ 按顺时针方向旋转角 $α (0 ° < ∠ α < ∠ AOC)$ 得到菱形 $FADE$ （点 $O$ 的对应点为点 $F)$ ， $EF$ 与 $OC$ 交于点 $G$ ，连接 $AG$ ．

（1）求点 $B$ 的坐标．

（2）当 $OG = 4$ 时，求 $AG$ 的长．

（3）求证： $GA$ 平分 $∠ OGE$ ．

（4）连接 $BD$ 并延长交 $x$ 轴于点 $P$ ，当点 $P$ 的坐标为 $(12, 0)$ 时，求点 $G$ 的坐标．

从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

（1）如图1，在 $ΔABC$ 中， $CD$ 为角平分线， $∠ A = 40 °$ ， $∠ B = 60 °$ ，求证： $CD$ 为 $ΔABC$ 的完美分割线．

（2）在 $ΔABC$ 中， $∠ A = 48 °$ ， $CD$ 是 $ΔABC$ 的完美分割线，且 $ΔACD$ 为等腰三角形，求 $∠ ACB$ 的度数．

（3）如图2， $ΔABC$ 中， $AC = 2$ ， $BC = \sqrt{2}$ ， $CD$ 是 $ΔABC$ 的完美分割线，且 $ΔACD$ 是以 $CD$ 为底边的等腰三角形，求完美分割线 $CD$ 的长．

某商场销售 $A$ ， $B$ 两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示

	$A$	$B$
进价（万元 $/$ 套）	1.5	1.2
售价（万元 $/$ 套）	1.65	1.4

该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．

（1）该商场计划购进 $A$ ， $B$ 两种品牌的教学设备各多少套？

（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少 $A$ 种设备的购进数量，增加 $B$ 种设备的购进数量，已知 $B$ 种设备增加的数量是 $A$ 种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问 $A$ 种设备购进数量至多减少多少套？

如图，已知 $⊙ O$ 的直径 $AB = 10$ ，弦 $AC = 6$ ， $∠ BAC$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AC$ 交 $AC$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $DE$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）求 $DE$ 的长．