解方程：-优题课

为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批 $A$ 、 $B$ 两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套 $B$ 型一体机的价格比每套 $A$ 型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套 $A$ 型一体机和200套 $B$ 型一体机．

（1）求今年每套 $A$ 型、 $B$ 型一体机的价格各是多少万元？

（2）该市明年计划采购 $A$ 型、 $B$ 型一体机共1100套，考虑物价因素，预计明年每套 $A$ 型一体机的价格比今年上涨 $25 %$ ，每套 $B$ 型一体机的价格不变，若购买 $B$ 型一体机的总费用不低于购买 $A$ 型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 (a - 1) x + a^{2} - a - 2 = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．

（1）若 $a$ 为正整数，求 $a$ 的值；

（2）若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = 16$ ，求 $a$ 的值．

如图， $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：

①以点 $C$ 为圆心，以 $CB$ 为半径画弧，交 $AB$ 于点 $G$ ；分别以点 $G$ 、 $B$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} GB$ 的长为半径画弧，两弧交点 $K$ ，作射线 $CK$ ；

②以点 $B$ 为圆心，以适当的长为半径画弧，交 $BC$ 于点 $M$ ，交 $AB$ 的延长线于点 $N$ ；分别以点 $M$ 、 $N$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} MN$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $P$ ，作直线 $BP$ 交 $AC$ 的延长线于点 $D$ ，交射线 $CK$ 于点 $E$ ．

请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；

（1）线段 $CD$ 与 $CE$ 的大小关系是　　；

（2）过点 $D$ 作 $DF ⊥ AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $F$ ，若 $AC = 12$ ， $BC = 5$ ，求 $\tan ∠ DBF$ 的值．

一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字 $- 2$ ， $- 1$ ，0，1，它们除了数字不同外，其它完全相同．

（1）随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是　　．

（2）小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点 $M$ 的横坐标；然后放回搅匀，接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点 $M$ 的纵坐标．如图，已知四边形 $ABCD$ 的四个顶点的坐标分别为 $A (- 2, 0)$ ， $B (0, - 2)$ ， $C (1, 0)$ ， $D (0, 1)$ ，请用画树状图或列表法，求点 $M$ 落在四边形 $ABCD$ 所围成的部分内（含边界）的概率．

如图，已知 $∠ C = ∠ D = 90 °$ ， $BC$ 与 $AD$ 交于点 $E$ ， $AC = BD$ ，求证： $AE = BE$ ．