（本小题满分12分）
某中学共有1000名学生参加了该地区高三第一次质量检测的数学考试，数学成绩如下表所示：
| 数学成绩分组 |
 |
 |
 |
 |
 |
| 人数 |
60 |
90 |
300 |
x |
160 |
（I）为了了解同学们前段复习的得失，以便制定下阶段的复习计划，学校将采用分层抽
样的方法抽取100名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，
求他被抽中的概率；
（II）已知本次数学成绩的优秀线为110分，试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数；
（III）作出频率分布直方图，并估计该学校本次考试的数学平均分。
如图，⊙
为四边形
的外接圆，且
，
是
延长线上一点，直线
与圆相切．
求证：
．
已知函数
，其中m，a均为实数．
（1）求
的极值；
（2）设
，若对任意的
，
恒成立，求
的最小值；
（3）设
，若对任意给定的
，在区间
上总存在
，使得
成立，求
的取值范围．
设各项均为正数的数列
的前n项和为Sn，已知
，且
对一切
都成立．
（1）若λ=1，求数列的通项公式；
（2）求λ的值，使数列是等差数列．
如图，在平面直角坐标系
中，已知
，
，
是椭圆
上不同的三点，
，
，在第三象限，线段
的中点在直线
上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求点C的坐标；
（3）设动点
在椭圆上（异于点，，）且直线PB，PC分别交直线OA于
，
两点，证明
为定值并求出该定值．
一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形
（如图所示，其中O为圆心，
在半圆上），设
，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．
（1）求V关于θ的函数表达式；
（2）求
的值，使体积V最大；
（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．