必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
某商场搞促销，当顾客购买商品的金额达到一定数量之后可以抽奖，根据顾客购买商品的金额，从箱中（装有4只红球，3只白球，且除颜色外，球的外部特征完全相同）每抽到一只红球奖励20元的商品（当顾客通过抽奖的方法确定了获奖商品后，即将小球全部放回箱中）
（1）当顾客购买金额超过500元而少于1000元（含1000元）时，可从箱中一次随机抽取3个小红球，求其中至少有一个红球的概率；
（2）当顾客购买金额超过1000元时，可一次随机抽取4个小球，设他所获奖商品的金额为
元，求的概率分布列和数学期望．
（本小题满分12分）
设数列
的前
项和为
已知
（I）设
，证明数列
是等比数列；
（II）求数列的通项公式。
（本小题满分12分）
如图，矩形
中，
，
，
为
上的点，且
.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求证；
；
（Ⅲ）求三棱锥
的体积．
（本小题共12）
某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是
，遇到红灯时停留的时间都是2min.
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率.
（本小题满分10分）
在△
中，
所对的边分别为
，
，
．
（1）求
；
（2）若
，求
,
，
．
（本小题满分12分）
已知函数
其中a为常数，且
．
（Ⅰ）当
时，求
在
（e=2．718 28…）上的值域；
（Ⅱ）若
对任意
恒成立，求实数a的取值范围．