必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
某商场搞促销，当顾客购买商品的金额达到一定数量之后可以抽奖，根据顾客购买商品的金额，从箱中（装有4只红球，3只白球，且除颜色外，球的外部特征完全相同）每抽到一只红球奖励20元的商品（当顾客通过抽奖的方法确定了获奖商品后，即将小球全部放回箱中）
（1）当顾客购买金额超过500元而少于1000元（含1000元）时，可从箱中一次随机抽取3个小红球，求其中至少有一个红球的概率；
（2）当顾客购买金额超过1000元时，可一次随机抽取4个小球，设他所获奖商品的金额为
元，求的概率分布列和数学期望．
函数
（Ⅰ）求
的值域和单调递减区间；
（Ⅱ）在
中角
所对的边分别是
，且
，
，
，求的面积。
已知函数
，
，其中
（Ⅰ）若函数
有极值
，求实数
的值；
（Ⅱ）若函数
在区间
上是增函数，求实数的取值范围；
（Ⅲ）证明：
已知抛物线
的焦点为
，点
关于坐标原点对称，以
为焦点的椭圆
，过点
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设
，过点作直线
与椭圆交于
两点，且
，若
，求
的最小值。
香港违法“占中”行动对香港的经济、政治、社会及民生造成重大损失，据香港科技大学经济系教授雷鼎鸣测算，仅香港的“占中”行动开始后一个多月的时间，保守估计造成经济损失
亿港元，相等于平均每名港人承受了
万港元的损失，为了挽回经济损失，某厂家拟在新年举行大型的促销活动,经测算某产品当促销费用为
万元时,销售量
万件满足
（其中
,
为正常数）.现假定生产量与销售量相等,已知生产该产品万件还需投入成本
万元（不含促销费用）,产品的销售价格定为
万元/万件.
（1）将该产品的利润
万元表示为促销费用万元的函数;
（2）促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大.
若数列
满足
，则称数列为“平方递推数列”．已知数列
中，
，点
在函数
的图象上，其中
为正整数．
（1）证明数列
是“平方递推数列”，且数列
为等比数列；
（2）设（1）中“平方递推数列”的前项之积为
，即
，求数列的通项及关于的表达式；
（3）记
，求数列
的前项和
，并求使
的的最小值．