必做题, 本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
某商场搞促销,当顾客购买商品的金额达到一定数量之后可以抽奖,根据顾客购买商品的金额,从箱中(装有4只红球,3只白球,且除颜色外,球的外部特征完全相同)每抽到一只红球奖励20元的商品(当顾客通过抽奖的方法确定了获奖商品后,即将小球全部放回箱中)
(1)当顾客购买金额超过500元而少于1000元(含1000元)时,可从箱中一次随机抽取3个小红球,求其中至少有一个红球的概率;
(2)当顾客购买金额超过1000元时,可一次随机抽取4个小球,设他所获奖商品的金额为元,求
的概率分布列和数学期望.
已知数列满足
,
.
(1)求证:数列是等差数列;
(2)设,数列
的前
项之和为
,求证:
.
如图,是边长为
的正方形,
是矩形,平面
平面
,
为
的中点.
(1)求证://平面
;
(2)若三棱锥的体积为
,求三棱柱
的体积.
汽车是碳排放量比较大的行业之一,某地规定,从2015年开始,将对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税.检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测,记录如下(单位:g/km).
经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为.
(1)求表中的值,并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性;
(2)从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆,则至少有一辆二氧化碳排放量超过的概率是多少?
已知函数
(1)求函数的最小正周期和最大值;
(2)设的三内角分别是A、B、C.若
,且
,求边
和
的值.
(本小题满分14分)已知函数,
,
;
(1)设,若
在定义域内存在极值,求
的取值范围;
(2)设是
的导函数,若
,
,
,求证:
.