（选做题）本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题． 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题
目标记． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
| A．选修4－1：几何证明选讲 如图，  是边长为 的正方形，以 为圆心， 为半径的圆弧与以 为直径的半⊙O交于点 ，延长 交 于 ．（1）求证： 是的中点；（2）求线段 的长． |
| B．选修4－2：矩阵与变换 已知矩阵A  ，其中 ，若点 在矩阵A的变换下得到 ．（1）求实数 的值；（2）矩阵A的特征值和特征向量． |
| C．选修4－4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，圆  的极坐标方程为 ，（1）过极点的一条直线  与圆相交于 ，A两点，且∠ ，求 的长．（2）求过圆上一点  ，且与圆相切的直线的极坐标方程； |
| D．选修4－5：不等式选讲 |
已知实数
满足
，求
的最小值；
如图，在三棱柱
中，每个侧面均为正方形，
为底边
的中点，
为侧棱
的中点.
（Ⅰ）求证：
∥平面
；
（Ⅱ）求证：
平面；
（Ⅲ）求直线
与平面
所成角的正弦值.
若
，观察下列不等式：
请你猜测
满足的不等式，并用数学归纳法加以证明.
已知椭圆
的离心率为
，短轴的一个端点到右焦点的距离为
，直线
交椭圆于不同的两点
，
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若
，且
，求
的值（
点为坐标原点）；
（Ⅲ）若坐标原点到直线
的距离为
，求
面积的最大值．
设函数
.
(Ⅰ)求函数
的单调区间；
(Ⅱ)当
时,是否存在整数
，使不等式
恒成立？若存在，求整数的值；若不存在，请说明理由.
(Ⅲ)关于
的方程
在
上恰有两个相异实根,求实数
的取值范围.
如图，在三棱柱
中，每个侧面均为正方形，
为底边
的中点，
为侧棱
的中点.
（Ⅰ）求证：
∥平面
；
（Ⅱ）求证：
平面；
（Ⅲ）求直线
与平面
所成角的正弦值.